Équation du quatrième degré/Fonctions polynômes du quatrième degré

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Dans ce chapitre, nous étudierons les courbes du quatrième degré. Nous verrons que l'allure générale du tracé d'une courbe du quatrième degré dépend principalement de deux éléments. Le premier élément est le signe du coefficient du terme de plus haut degré. Le deuxième élément est le discriminant du troisième degré de la dérivée de la fonction à étudier. Le discriminant du quatrième degré de la fonction n'intervient, quant à lui, seulement pour préciser le nombre de points d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses.

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Définition des éléments nécessaires à l'étude des fonctions polynômes du quatrième degré

Définition

Une fonction polynomiale du quatrième degré est une fonction qui peut s'exprimer sous la forme :

$f:x\mapsto ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

avec

• a, b, c, d et e cinq coefficients réels
• a non nul.

On parle de quatrième degré car la puissance de x la plus élevée est 4.

Pour l'étude générale des fonctions polynomiales du quatrième degré, il est très important de prendre a non nul, sinon on n'aurait plus une fonction du quatrième, mais du troisième degré maximum.

De la définition précédente, on déduit qu'une fonction polynôme du quatrième degré est définie sur $\mathbb {R}$ tout entier.

Propriété

La dérivée de la fonction définie précédemment est donnée par :

$f':x\mapsto 4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d$.

Démonstration

La dérivée d'une fonction de type $f(x)=l.x^{m}$ est : $f'(x)=l.m.x^{m-1}$

et

la dérivée d'une fonction de type $f(x)=y(x)+z(x)$ est : $f'(x)=y'(x)+z'(x)$.

Ainsi la démonstration est immédiate. Si vous n'y arrivez pas, ne vous découragez pas et revoyez votre cours sur les calculs de dérivées.

 

Propriété

La dérivée seconde de la fonction $f$ définie précédemment est donnée par :

$f'':x\mapsto 12ax^{2}+6bx+2c$.

Démonstration

Il suffit de redériver la dérivée première.

 

Propriété

Soit Δ est le discriminant de l'équation à résoudre, Δ' le discriminant de la dérivée de la fonction à résoudre et Δ" le discriminant de la dérivée seconde de la fonction à résoudre alors, nous avons :

$\Delta =256a^{3}e^{3}-128a^{2}e^{2}c^{2}-4b^{3}d^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-192a^{2}bde^{2}-27b^{4}e^{2}-6ab^{2}d^{2}e$

$+144ab^{2}ce^{2}+144a^{2}cd^{2}e-80abc^{2}de+18b^{3}cde+18abcd^{3}+b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{2}c^{3}e-27a^{2}d^{4}$,

$\Delta '=4(9b^{2}c^{2}+108abcd-108a^{2}d^{2}-32ac^{3}-27b^{3}d)$,

$\Delta ''=12(3b^{2}-8ac)$.

Démonstration

Pour le calcul de Δ, voir le chapitre précédent.

Pour le calcul de Δ', on sait (revoir éventuellement le cours sur les équations du troisième degré) que l'équation :

$AX^{3}+BX^{2}+CX+D=0$

a pour discriminant :

$B^{2}C^{2}+18ABCD-27A^{2}D^{2}-4AC^{3}-4B^{3}D$.

En posant :

${\begin{cases}A=4a\\B=3b\\C=2c\\D=d\end{cases}}$

on obtient :

$\Delta '=4(9b^{2}c^{2}+108abcd-108a^{2}d^{2}-32ac^{3}-27b^{3}d)$.

Pour le calcul de Δ", on sait (revoir éventuellement le cours sur les équations du second degré) que l'équation :

$AX^{2}+BX+C=0$

a pour discriminant :

$B^{2}-4AC$.

En posant :

${\begin{cases}A=12a\\B=6b\\C=2c\end{cases}}$

on obtient :

$\Delta '=(6b)^{2}-4\times 12a\times 2c=36b^{2}-96ac=12(3b^{2}-8ac)$.

 

Notations

Par commodité, nous poserons :

• $\delta '=9b^{2}c^{2}+108abcd-108a^{2}d^{2}-32ac^{3}-27b^{3}d$,
• $\delta ''=3b^{2}-8ac$.

δ' est le discriminant réduit de la dérivée de la fonction à résoudre. Il a, bien sûr, le même signe que Δ' et nous dispense du facteur 4.

δ" est le discriminant réduit de la dérivée seconde de la fonction à résoudre. Il a, bien sûr, le même signe que Δ" et nous dispense du facteur 12.

$\Delta '=4\delta '$,

$\Delta ''=12\delta ''$.

Le tableau de variation de la fonction du quatrième degré à étudier dépend uniquement du signe du terme de plus haut degré et de Δ'. Dans la suite de ce chapitre, nous distinguerons donc quatre cas selon le signe du coefficient du terme de plus haut degré et selon le signe de Δ'. Pour chacun des quatre cas nous tracerons les différentes courbes possibles associées au tableau de variation établi pour le cas considéré.

Premier cas : Le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est strictement positif

Début d’un théorème

Théorème

Les variations de la fonction du quatrième degré :

$x\longmapsto ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

définie sur $\mathbb {R}$, avec a positif et Δ' positif, sont données par le tableau suivant :

${\begin{array}{c|ccccccccc}x&-\infty &&\alpha &&\beta &&\gamma &&+\infty \\&&&&&&&&&\\\hline &+\infty &&&&m2&&&&+\infty \\{\text{Variations de }}f&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &\\&&&m1&&&&m3\\\end{array}}$

avec :

$\alpha ,\beta ,\gamma$

racines de l'équation :

$4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0$

et :

$m1=f(\alpha )\quad m2=f(\beta )\quad m3=f(\gamma )$.

Fin du théorème

Démonstration

Étudions donc la fonction :

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$.

Sa dérivée est :

$f'(x)=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d$.

Pour trouver les valeurs annulant la dérivée, nous devons résoudre l'équation :

$4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0$.

Cette équation a par hypothèse un discriminant strictement positif. L'équation admet donc trois racines réelles distinctes que nous appellerons α, β et γ.

Comme le coefficient 4a de degré trois est positif (car a est positif par hypothèse), la dérivée est donc négative de moins l'infini à α, positive de α à β, négative de β à γ et positive de γ à plus l'infini.

La fonction $f$ est donc décroissante de moins l'infini à α, croissante de α à β, décroissante de β à γ et à nouveau croissante de γ à plus l'infinie. La fonction admet donc un minimum relatif m1 en α, un maximum relatif m2 en β et un minimum relatif m3 en γ. Il ne nous reste plus qu’à calculer m1, m2 et m3. On obtient :

$m1=f(\alpha )\quad m2=f(\beta )\quad m3=f(\gamma )$.

 

Dans le tableau suivant, nous avons représenté les trois allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Les 3 cas qui peuvent se présenter

a > 0	b3 - 4abc + 8a2d > 0	b3 - 4abc + 8a2d = 0	b3 - 4abc + 8a2d < 0

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

$b^{3}-4abc+8a^{2}d>0$.

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.

On rappelle la définition du sottien Ψ de l'équation :

$\Psi =2c^{3}+27ad^{2}+27b^{2}e-9bcd-72ace$.

La présence du sottien dans le tableau suivant est justifiée dans l'exercice 3-5.

Nous obtenons

Les 6 cas qui peuvent se présenter

a > 0	Δ < 0	Δ > 0	Δ = 0
Ψ > 0		Cas douteux	Cas douteux
Ψ < 0		Cas douteux

Nous allons analyser plus en détail les trois cas douteux apparaissant dans le tableau.

Premier cas : Δ > 0 et Ψ > 0

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivant :

Les 2 cas qui peuvent se présenter

a > 0	premier cas	deuxième cas

Pour le deuxième cas, la réciproque n’est pas vraie car on peut aussi avoir cette configuration avec Δ > 0 et Ψ < 0 comme indiqué dans le paragraphe suivant.

Deuxième cas : Δ > 0 et Ψ < 0

Alors nous avons :

Le seul cas qui peut se présenter

a > 0	premier cas

Mais la réciproque n’est pas vraie car nous avons déjà vu cette configuration dans le premier cas. C'est pour cela que nous avons préféré ne pas faire figurer ce cas dans le tableau.

Troisième cas : Δ = 0 et Ψ > 0

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivants :

Les 2 cas qui peuvent se présenter

a > 0	premier cas	deuxième cas

Dans le premier cas, nous avons une racine double et deux racines complexes conjuguées.

Dans le deuxième cas, nous avons une racine double et deux racines réelles.

Deuxième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est négatif ou nul

Début d’un théorème

Théorème

Les variations de la fonction du quatrième degré :

$x\longmapsto ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

définie sur $\mathbb {R}$, avec a positif et Δ' négatif ou nul, sont données par le tableau suivant :

${\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty &&\alpha &&+\infty \\&&&&&\\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\text{Variations de }}f&&\searrow &&\nearrow &\\&&&m&&\\\end{array}}$

avec α, racine de l'équation :

$4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0$

et :

$m=f(\alpha )$.

Fin du théorème

Démonstration

Étudions donc la fonction :

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$.

Sa dérivée est :

$f'(x)=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d$.

Pour trouver les valeurs annulant la dérivée, nous devons résoudre l'équation :

$4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0$.

Cette équation a par hypothèse un discriminant strictement négatif. L'équation admet donc une racine réelle que nous appellerons α.

Comme le coefficient 4a de degré trois est positif (car a est positif par hypothèse), la dérivée est donc négative de moins l'infini à α et positive de α à plus l'infini.

La fonction $f$ est donc décroissante de moins l'infini à α et croissante de α à à plus l'infinie. La fonction admet donc un minimum absolu m en α. Il ne nous reste plus qu’à calculer m. On obtient :

$m=f(\alpha )$.

 

Dans le tableau suivant, nous avons représenté les cinq allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Nous savons que les abscisses des points d'inflexion sont les racines de la dérivée seconde. Par conséquent, si le discriminant de la dérivée seconde est négatif, il n'y aura pas de point d'inflexion et si le discriminant de la dérivée seconde est positif, il n'y aura deux points d'inflexions. Nous avons donc, dans le tableau suivant, distingué ces deux cas selon le signe de δ".

Les 5 cas qui peuvent se présenter

a > 0	b3 - 4abc + 8a2d < 0	b3 - 4abc + 8a2d = 0	b3 - 4abc + 8a2d > 0
δ" < 0
δ" > 0		impossible

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

$b^{3}-4abc+8a^{2}d<0\qquad \delta ''>0$.

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.

Les 3 cas qui peuvent se présenter

a > 0	Δ > 0	Δ = 0	Δ < 0
Δ' ≤ 0

Troisième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est négatif et Δ' est strictement positif

Début d’un théorème

Théorème

Les variations de la fonction du quatrième degré :

$x\longmapsto ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

définie sur $\mathbb {R}$, avec a négatif et Δ' positif, sont données par le tableau suivant :

${\begin{array}{c|ccccccccc}x&-\infty &&\alpha &&\beta &&\gamma &&+\infty \\&&&&&&&&&\\\hline &&&m1&&&&m3\\{\text{Variations de }}f&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow &\\&-\infty &&&&m2&&&&-\infty \\\end{array}}$

avec :

$\alpha ,\beta ,\gamma$

racines de l'équation :

$4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0$

et :

$m1=f(\alpha )\quad m2=f(\beta )\quad m3=f(\gamma )$.

Fin du théorème

Démonstration

Étudions donc la fonction :

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$.

Sa dérivée est :

$f'(x)=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d$.

Pour trouver les valeurs annulant la dérivée, nous devons résoudre l'équation :

$4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0$.

Cette équation a par hypothèse un discriminant strictement positif. L'équation admet donc trois racines réelles distinctes que nous appellerons α, β et γ.

Comme le coefficient 4a de degré trois est négatif (car a est négatif par hypothèse), la dérivée est donc positive de moins l'infini à α, négative de α à β, positive de β à γ et négative de γ à plus l'infini.

La fonction $f$ est donc croissante de moins l'infini à α, décroissante de α à β, croissante de β à γ et à nouveau décroissante de γ à plus l'infinie. La fonction admet donc un maximum relatif m1 en α, un minimum relatif m2 en β et un maximum relatif m3 en γ. Il ne nous reste plus qu’à calculer m1, m2 et m3. On obtient :

$m1=f(\alpha )\quad m2=f(\beta )\quad m3=f(\gamma )$.

 

Dans le tableau suivant, nous avons représenté les trois allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Les 3 cas qui peuvent se présenter

a < 0	b3 - 4abc + 8a2d > 0	b3 - 4abc + 8a2d = 0	b3 - 4abc + 8a2d < 0

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

$b^{3}-4abc+8a^{2}d<0$.

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.

En posant :

$\Psi =2c^{3}+27ad^{2}+27b^{2}e-9bcd-72ace$,

nous obtenons

Les 6 cas qui peuvent se présenter

a < 0	Δ < 0	Δ > 0	Δ = 0
Ψ > 0		Cas douteux
Ψ < 0		Cas douteux	Cas douteux

Nous allons analyser plus en détail les trois cas douteux apparaissant dans le tableau.

Premier cas : Δ > 0 et Ψ < 0

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivants :

Les 2 cas qui peuvent se présenter

a < 0	premier cas	deuxième cas

Pour le deuxième cas, la réciproque n’est pas vraie car on peut aussi avoir cette configuration avec Δ > 0 et Ψ > 0 comme indiqué dans le paragraphe suivant.

Deuxième cas : Δ > 0 et Ψ > 0

Alors nous avons :

Le seul cas qui peut se présenter

a < 0	premier cas

Mais la réciproque n’est pas vraie car nous avons déjà vu cette configuration dans le premier cas. C'est pour cela que nous avons préféré ne pas faire figurer ce cas dans le tableau.

Troisième cas : Δ = 0 et Ψ < 0

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivants :

Les 2 cas qui peuvent se présenter

a < 0	premier cas	deuxième cas

Dans le premier cas, nous avons une racine double et deux racines complexes conjuguées.

Dans le deuxième cas, nous avons une racine double et deux racines réelles.

Quatrième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est négatif et Δ' est négatif ou nul

Début d’un théorème

Théorème

Les variations de la fonction du quatrième degré :

$x\longmapsto ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

définie sur $\mathbb {R}$, avec a positif et Δ' positif, sont données par le tableau suivant :

${\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty &&\alpha &&+\infty \\&&&&&\\\hline &&&m&&\\{\text{Variations de }}f&&\nearrow &&\searrow &\\&-\infty &&&&-\infty \\\end{array}}$

avec α, racine de l'équation :

$4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0$

et :

$m=f(\alpha )$.

Fin du théorème

Démonstration

Étudions donc la fonction :

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$.

Sa dérivée est :

$f'(x)=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d$.

Pour trouver les valeurs annulant la dérivée, nous devons résoudre l'équation :

$4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0$.

Cette équation a par hypothèse un discriminant strictement négatif. L'équation admet donc une racine réelle que nous appellerons α.

Comme le coefficient 4a de degré trois est négatif (car a est négatif par hypothèse), la dérivée est donc positive de moins l'infini à α et négative de α à plus l'infini.

La fonction $f$ est donc croissante de moins l'infini à α et décroissante de α à à plus l'infinie. La fonction admet donc un maximum absolu m en α. Il ne nous reste plus qu’à calculer m. On obtient :

$m=f(\alpha )$.

 

Dans le tableau suivant, nous avons représenté les cinq allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Nous savons que les abscisses des points d'inflexion sont les racines de la dérivée seconde. Par conséquent, si le discriminant de la dérivée seconde est négatif, il n'y aura pas de point d'inflexion et si le discriminant de la dérivée seconde est positif, il n'y aura deux points d'inflexions. Nous avons donc, dans le tableau suivant, distingué ces deux cas selon le signe de δ".

Les 5 cas qui peuvent se présenter

a > 0	b3 - 4abc + 8a2d < 0	b3 - 4abc + 8a2d = 0	b3 - 4abc + 8a2d > 0
δ" < 0
δ" > 0		impossible

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

$b^{3}-4abc+8a^{2}d>0\qquad \delta ''>0$.

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.

Les 3 cas qui peuvent se présenter

a > 0	Δ > 0	Δ = 0	Δ < 0
Δ' <= 0