Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les tracés de courbes

Nota bene

Dans tous les exercices, nous noterons :

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e~$

$f'(x)=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d~$

$\Psi =2c^{3}+27ad^{2}+27b^{2}e-9bcd-72ace~$

$\Delta ={\frac {4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}-\Psi ^{2}}{27}}~$

$\delta '=9b^{2}c^{2}-108a^{2}d^{2}-32ac^{3}-27b^{3}d+108abcd~$

$\Delta '=4\delta '$

C_f la courbe représentative de la fonction $f$.

Exercice 3-1

Montrer que si

$b^{3}-4abc+8a^{2}d=0$,

alors C_f admet un axe de symétrie.

Solution

Faisons un changement de repère en posant :

${\begin{cases}x=X-{\frac {b}{4a}}\\y=Y.\end{cases}}$

Nous savons (chapitre 3) que d'après l'hypothèse sur les coefficients, la fonction

$z\mapsto f\left(z+{\frac {b}{4a}}\right)$

est paire.

Par conséquent, C_f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du nouveau repère. Dans l'ancien repère, cette droite a pour équation :

$x=-{\frac {b}{4a}}~$.

 

Exercice 3-2

Soit ζ la moyenne arithmétique des abscisses des points d'inflexion de la courbe C_f. Posons :

$\mathrm {H} =256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}$.

x₁, x₂, x₃, x₄ étant les quatre racines f, montrer que :

$a(x_{1}-\zeta )(x_{2}-\zeta )(x_{3}-\zeta )(x_{4}-\zeta )=f(\zeta )={\frac {\mathrm {H} }{256a^{3}}}$.

Solution

Les abscisses des points d'inflexion sont les racines de la dérivée seconde :

$f''(x)=12ax^{2}+6bx+2c=2(6ax^{2}+3bx+c)~$

La somme des deux racines est : $-3b/6a=-b/2a$.

La moyenne arithmétique des racines est alors :

$\zeta =-{\frac {b}{4a}}$

et par conséquent :

${\begin{aligned}f(\zeta )&=a\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+b\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+c\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+d\left(-{\frac {b}{4a}}\right)+e\\&={\frac {b^{4}}{256a^{3}}}-{\frac {b^{4}}{64a^{3}}}+{\frac {cb^{2}}{16a^{2}}}-{\frac {db}{4a}}+e\\&={\frac {b^{4}-4b^{4}+16ab^{2}c-64a^{2}bd+256a^{3}e}{256a^{3}}}\\&={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{3}}}\\&={\frac {\mathrm {H} }{256a^{3}}}.\end{aligned}}$

D'autre part, nous avons :

$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=a(x_{1}-x)(x_{2}-x)(x_{3}-x)(x_{4}-x)$,

en particulier

$f(\zeta )=a(x_{1}-\zeta )(x_{2}-\zeta )(x_{3}-\zeta )(x_{4}-\zeta )$.

 

Exercice 3-3

Soient α, β, γ, les trois racines de $f'$.

Établir la relation :

$\Delta =256a^{3}f(\alpha )f(\beta )f(\gamma )$.

Solution

Procédons comme pour le théorème analogue sur les polynômes de degré 3.

En notant $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}$ les 4 racines de f, on a :

$f(X)=a(X-x_{0})(X-x_{1})(X-x_{2})(X-x_{3})$

donc

$f'(X)=a(X-x_{1})(X-x_{2})(X-x_{3})+(X-x_{0})(X-x_{2})(X-x_{3})+(X-x_{0})(X-x_{1})(X-x_{3})+(X-x_{0})(X-x_{1})(X-x_{2})$,

en particulier

$f'(x_{i})=a\prod _{j\neq i}(x_{i}-x_{j})$.

Par conséquent,

${\begin{aligned}\Delta &=a^{6}(x_{0}-x_{1})^{2}(x_{0}-x_{2})^{2}(x_{0}-x_{3})^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}\\&=a^{2}\times a(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{3})\times a(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})\times a(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})\times a(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})\\&=a^{2}f'(x_{0})f'(x_{1})f'(x_{2})f'(x_{3}).\end{aligned}}$

Or par ailleurs,

$f'(X)=4a(X-\alpha )(X-\beta )(X-\gamma )$.

Donc

${\begin{aligned}\Delta &=a^{2}(4a)^{4}\prod _{i=0}^{3}(x_{i}-\alpha )(x_{i}-\beta )(x_{i}-\gamma )\\&=4^{4}a^{6}{\frac {f(\alpha )}{a}}{\frac {f(\beta )}{a}}{\frac {f(\gamma )}{a}}\\&=256a^{3}f(\alpha )f(\beta )f(\gamma ).\end{aligned}}$

 

Exercice 3-4

Supposons que l'équation :

$f'(x)=0$

a une racine double α et une racine simple β distincte de α.

Montrer qu'alors :

$f(\alpha )={\frac {\Psi }{48a^{2}(\alpha -\beta )^{2}}}$.

Vérifier aussi que si α = β, c'est-à-dire si l'équation :

$f'(x)=0$

a une racine triple α, alors :

$\Psi =0$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 3-5

Dans cet exercice, on se place dans le cas où a est positif et Δ' est strictement positif.

Soit α, β et γ les trois racines réelles de l'équation :

$f'(x)=0~$

vérifiant α < β < γ.

On pose :

$w={\frac {\Psi }{9(3b^{2}-8ac)}}$.

Montrer que

$f(\alpha )<w\qquad \qquad f(\beta )>w\qquad \qquad f(\gamma )<w$,

c'est-à-dire que la droite d'équation y = w passe entre les extremums comme indiqué sur le schéma.

En déduire que le signe du sottien permet de situer la courbe par rapport à l'axe des abscisses. Montrer en particulier que le signe du sottien associé au signe du discriminant permet, dans certain cas, de mieux préciser la nature des racines de l'équation considérée.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 3-6

Nous avons vu que dans le cours que, lorsque le discriminant d'une équation du quatrième degré est strictement positif, l'équation admet soit deux couples de racines complexes conjuguées, soit quatre racines réelles distinctes. Selon le cas, nous avions alors les deux tracés possibles (en supposant a > 0 et Δ' > 0) :

Les 2 cas qui peuvent se présenter

a > 0	premier cas	deuxième cas

Le discriminant étant dans l'impossibilité de différencier ces deux cas, peut-on trouver une autre expression s'exprimant à l'aide des coefficients $a,b,c,d,e$ et qui serait négative dans le premier cas et positive dans le deuxième cas ?

• Si la réponse est oui, donner une telle expression.
• Si la réponse est non, expliquer pourquoi.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}