Équation et inéquation/Exercices/Équations quotients

Résoudre dans $\mathbb {R}$ les équations suivantes :

Exercice 1

1. ${\frac {2x+3}{x-5}}=0$ ;
2. ${\frac {\left(2x+3\right)\left(x+1\right)}{x+1{,}5}}=0$ ;
3. ${\frac {2x+3}{x-5}}=2$.

Résolution de l'équation 1

On détermine les valeurs interdites :

Le dénominateur $x-5$ s'annule si $x=5$.

On résout pour $x\in \mathbb {R} \setminus \{5\}$ :

${\frac {2x+3}{x-5}}=0\Leftrightarrow 2x+3=0\Leftrightarrow 2x=-3\Leftrightarrow x={\frac {-3}{2}}$.

 

Résolution de l'équation 2

On détermine les valeurs interdites :

Le dénominateur $x-1{,}5$ s'annule si $x=1{,}5$.

On résout pour $x\in \mathbb {R} \setminus \{1{,}5\}$ :

${\frac {\left(2x+3\right)\left(x+1\right)}{x+1{,}5}}=0\Leftrightarrow \left(2x+3\right)\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow 2x+3=0{\text{ ou }}x+1=0\Leftrightarrow x=-{\frac {3}{2}}{\text{ ou }}x=-1$.

 

Résolution de l'équation 3

Comme dans l'équation 1, on résout pour $x\in \mathbb {R} \setminus \{5\}$ :

${\frac {2x+3}{x-5}}=2\Leftrightarrow 2x+3=2\left(x-5\right)\Leftrightarrow 3=-10$ donc il n'y a pas de solution.

 

Exercice 2

1. ${\frac {x-5}{x}}=3$ ;
2. ${\frac {2x+3}{x-1}}={\frac {x+4}{x-1}}$ ;
3. ${\frac {5x+3}{x}}={\frac {x}{5x+3}}$ ;
4. ${\frac {x+1}{2x}}={\frac {3x-2}{x}}$.

Solution

1. Pour $x\neq 0$, ${\frac {x-5}{x}}=3\Leftrightarrow x-5=3x\Leftrightarrow x=-{\frac {5}{2}}$.
2. Pour $x\neq 1$, ${\frac {2x+3}{x-1}}={\frac {x+4}{x-1}}\Leftrightarrow 2x+3=x+4\Leftrightarrow x=1$.
3. Pour $x\notin \left\{1,-{\frac {3}{5}}\right\}$, ${\frac {5x+3}{x}}={\frac {x}{5x+3}}\Leftrightarrow \left(5x+3\right)^{2}=x^{2}\Leftrightarrow 3\left(8x^{2}+10x+3\right)=0\Leftrightarrow x=-{\frac {1}{2}}{\text{ ou }}x=-{\frac {3}{4}}$.
4. Pour $x\neq 0$, ${\frac {x+1}{2x}}={\frac {3x-2}{x}}\Leftrightarrow x+1=2\left(3x-2\right)\Leftrightarrow x=1$.