Équations/Résoudre un problème

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Introduction :

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En règle générale et dans la vie courante, un problème ne se présente pas sous la forme d'une équation. Le plus souvent, on l'exprime par un texte comportant des informations chiffrées et des données inconnues. La mise en équation est effectuée une fois que l'on a défini le lien entre le paramètre inconnu et les informations chiffrées.

Le premier travail du mathématicien consiste donc à traduire l'énoncé d'un problème en langage mathématique (ici, sous la forme d'une ou plusieurs équations) afin de ramener la résolution d'un problème à la résolution d'une équation.

Mettre un problème en équation (modéliser une situation)

Méthode de mise en équation d'un problème

Pour mettre un problème en équation :

1) On repère l'inconnue et on la nomme par une lettre. Dans l'énoncé du problème, l'inconnue est souvent définie par un paramètre ou une grandeur physique.

2) On écrit ensuite une égalité entre deux quantités faisant intervenir cette inconnue et les informations chiffrées issues de l'énoncé.

Remarque

Généralement, la question posée dans l'énoncé permet de faire le choix de l'inconnue.

Début de l'exemple

Exemple 1

Énoncé : "Je suis un nombre dont le double augmenté de 5 est égal au triple diminué de 4. Qui suis-je ?"

Mise en équation :

--> Étape 1 : Choix de l'inconnue

On pose $n$ le nombre recherché.

--> Étape 2 : Mise en équation du problème

• Le double du nombre augmenté de 5 se traduit par : $2n+5$
• Le triple du nombre diminué de 4 se traduit par : $3n-4$

Ces deux expressions doivent être égales : pour trouver le nombre recherché, il suffit donc de résoudre l'équation :

$2n+5=3n-4$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple 2

Énoncé : "Jules a reçu 10 SMS de moins que Floriane et, à eux deux, ils en ont reçu 52. Combien de SMS a reçu Jules ?"

Modélisation du problème :

--> Étape 1 : Choix de l'inconnue

Soit $s$ le nombre de SMS reçus par Jules.

--> Étape 2 : Mise en équation du problème

• Le nombre de SMS reçus par Jules se traduit par $s$
• Le nombre de SMS reçus par Floriane se traduit par $s+10$
• Nombre total de SMS = 52

Pour résoudre ce problème, on doit donc calculer la solution de l'équation :

$2s+10=52$

Fin de l'exemple

Résoudre un problème

Méthode de résolution d'un problème

La résolution d'un problème se fait en 5 étapes :

1) Choix de l'inconnue.

2) Mise en équation du problème.

3) Résolution de l'équation.

4) Vérification du résultat.

5) Interprétation du résultat et conclusion.

Début de l'exemple

Exemple 1

On reprend l'exemple 1 de la partie précédente. Nous avons déjà effectué les étapes 1 et 2.

--> Étape 3 : Résolution de l'équation

$2n+5-3n=3n-4-3n$

$-n+5-5=-4-5$

$-n=-9$

$n=9$

--> Étape 4 : Vérification du résultat

• Double du nombre augmenté de 5 : $2\times 9+5=18+5=23$
• Triple du nombre diminué de 4 : $3\times 9-4=27-4=23$

L'égalité est vraie.

--> Étape 5 : Interprétation du résultat et conclusion

Je suis le nombre 9.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple 2

On reprend l'exemple 2 de la partie précédente. Nous avons déjà effectué les étapes 1 et 2.

--> Étape 3 : Résolution de l'équation

$2s+10-10=52-10$

$2s\div 2=42\div 2$

$s=21$

--> Étape 4 : Vérification du résultat

• Nombre de SMS reçus par Jules : $21$
• Nombre de SMS reçus par Floriane : $21+10=31$
• Nombre total de SMS reçus par Jules et Floriane : $21+31=52$

L'égalité est vraie.

--> Étape 5 : Interprétation du résultat et conclusion

Jules a reçu 21 SMS.

Fin de l'exemple

Exercices d'application de la méthode de résolution d'un problème

Exercice n°1

Énoncé : Agnès a 3 ans de moins que Mélanie. Céline a le double de l'âge d'Agnès. À elles trois, elles ont 107 ans. Quel est l'âge d'Agnès ?

Solution

--> Étape 1 : Choix de l'inconnue

On pose $a$ l'âge d'Agnès.

--> Étape 2 : Mise en équation du problème

• Âge d'Agnès : $a$
• Âge de Mélanie : $a+3$
• Âge de Céline : $2a$
• La somme de ces 3 âges est égale à 107 ans.

Pour résoudre ce problème, on doit donc chercher la solution de l'équation :

$4a+3=107$

--> Étape 3 : Résolution de l'équation

$4a+3-3=107-3$

${4a\div 4}={104\div 4}$

$a=26$

--> Étape 4 : Vérification du résultat

• Âge d'Agnès : $26$
• Âge de Mélanie : $26+3=29$
• Âge de Céline : $2\times 26=52$
• Somme de leurs âges : $26+29+52=107$

--> Étape 5 : Interprétation du résultat et conclusion

Agnès a 26 ans.

 

Exercice n°2

Énoncé : Un fleuriste propose à ses clients d'emporter gratuitement un bouquet de cinq roses, quatre iris et six tulipes, dont le prix est 35 euros, à condition de trouver le prix unitaire de chaque fleur 🌷 🌺 🥀 🌼 🌹 💐. Pour cela, il donne les renseignements suivants :

- le prix d'un iris est la moitié du prix d'une rose ;

- le prix d'une tulipe est le triple du prix d'une rose.

Solution

• On pose $p_{r}$ le prix d'une rose.
• Expression du prix d'un iris = $p_{r} \over 2$
• Expression du prix d'une tulipe = $3p_{r}$

En prenant en compte le nombre de fleurs dans le bouquet et l'expression du prix d'une rose, l'équation à résoudre est :

$5p_{r}+2p_{r}+6\times 3p_{r}=35$, c'est-à-dire : $25p_{r}=35$

Résolution de l'équation et calcul des valeurs des inconnues :

• Prix d'une rose : $p_{r}={35 \over 25}=1,4$
• Prix d'un iris : ${p_{r} \over 2}={1,4 \over 2}=0,7$
• Prix d'une tulipe : $3p_{r}=3\times 1,4=4,2$

Conclusion :

Une rose coûte 1,4 €.

Un iris coûte 0,7 € (70 centimes d'€).

Une tulipe coûte 4,2 €.