Équations du premier degré/Définitions

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Généralités

Définition

Une équation du premier degré d'inconnue x peut se mettre sous la forme :

$ax+b=0$

où a et b sont deux nombres réels, et où a est non nul.

Exemples

Déterminer si les équations suivantes sont des équations du premier degré d'inconnue x.

Si oui, donner a et b.

• $2x+3=0$

Solution

Oui, car elle est de la forme $ax+b=0$ avec a = 2 et b = 3.

 

• $2x=3$

Solution

Oui, car elle est de la forme $ax+b=0$ avec a = 2 et b = -3.

$2x=3\rightarrow 2x-3=0$

 

• $-2x=5$

Solution

Oui, car elle est de la forme $ax+b=0$ avec a = -2 et b = -5.

$-2x=5\rightarrow -2x-5=0$

 

• $-2x+3=5$

Solution

Oui, car elle est de la forme $ax+b=0$ avec a = -2 et b = -2.

$-2x+3=5\rightarrow -2x+3-5=0\rightarrow -2x-2=0$

 

• $x+4=2x-6$

Solution

Oui, car elle est de la forme $ax+b=0$ avec a = -1 et b = 10.

$x+4=2x-6\rightarrow x-2x+4+6=0\rightarrow -x+10=0$

 

• $x+{\frac {1}{2}}=8$

Solution

Oui, car elle est de la forme $ax+b=0$ avec a = 1 et b = $-{\frac {15}{2}}$.

$x+{\frac {1}{2}}=8\rightarrow x+{\frac {1}{2}}={\frac {16}{2}}\rightarrow x+{\frac {1}{2}}-{\frac {16}{2}}=0\rightarrow x-{\frac {15}{2}}=0$

 

• $(x-2)x-x^{2}=7$

Solution

Oui, car elle est de la forme, après développement, $ax+b=0$ avec a = -2 et b = -7.

$(x-2)x-x^{2}=7\rightarrow x^{2}-2x-x^{2}=7\rightarrow -2x=7\rightarrow -2x-7=0$

 

• $2x+3=2x-4$

Solution

Non, car elle est de la forme $ax+b\neq 0$.

$2x+3=2x-4\rightarrow 2x-2x+3+4=0\rightarrow 7=0$, ce qui est impossible ; De la même façon que :

$2x+3=2x-4\rightarrow {\cancel {2x}}+3={\cancel {2x}}-4\rightarrow 3=-4$ ne résulte ni en une équation juste, ni de la forme $ax+b=0$

 

• $2x-3=2x-3$

Solution

Non, car elle est de la forme $0=0$.

$2x-3=2x-3\rightarrow 2x-2x-3+3=0\rightarrow 0=0$, ce qui est toujours vrai

 

Résolution d'une équation

Définition

• Une solution d'une équation est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

On dit qu'elle vérifie l'équation.

• Résoudre une équation consiste à trouver toutes ses solutions.

Exemple

• Considérons l'équation du premier degré $2x-4=0$

Montrer que $x=2$ est solution.

Montrer que $x=3$ n’est pas solution.

Cas des équations du premier degré

Début d’un théorème

Théorème

Une équation du premier degré admet une seule solution.

Fin du théorème

Remarque

• D'autres types d'équations peuvent avoir : plusieurs solutions, une infinité de solutions, aucune solution.
• Par exemple : $2x-3=2x-3$ a une infinité de solutions et $2x-3=2x+4$ n'en a aucune.
• Par exemple $x^{2}=4$ est une équation du second degré. Elle possède deux solutions 2 et -2.