Équations et fonctions du second degré/Exercices/Profondeur du canyon

Vous vous trouvez au bord d'un canyon dont vous voulez connaître la profondeur. Pour ce faire, vous laissez tomber un caillou et vous mesurez le temps jusqu'à ce que vous entendiez le « plouf ».
Le temps mesuré entre le moment où vous lâchez le caillou et où vous entendez le « plouf » est de 4,5 secondes.

• Soit p la profondeur du canyon
• À l'instant t=0, vous lâchez le caillou.
• Soit t₁ l'instant où le caillou touche la surface de l'eau
• Soit t₂ l'instant où vous entendez le « plouf »

La distance d parcourue par un objet tombant, sans vitesse initiale, pendant un temps t vaut $d={\frac {1}{2}}\times 9,81\times t^{2}$

La distance d parcourue par un son pendant un temps t est $d=340t$

1. Exprimer p en fonction de t₁ (en utilisant le temps que met le caillou à toucher la surface de l'eau)
2. Exprimer p en fonction de t₂ (en utilisant le temps que met le son à remonter)
3. Trouver la relation vérifée par t₁. On combinera les deux équations précédentes et on remplacera $t_{2}$ par sa valeur.
4. Résoudre l’équation $5t_{1}^{2}+340t_{1}-1530=0$ sachant que la ou les solutions doivent être réalistes.
5. Trouver la profondeur du canyon.

Solution

1. Exprimer p en fonction de t₁

$p={\frac {1}{2}}\times 9,81\times t_{1}^{2}$

2. Exprimer p en fonction de t₂

$p=340(t_{2}-t_{1})$

3. Trouver la relation vérifée par t₁. On combinera les deux équations précédentes et on remplacera $t_{2}$ par sa valeur.

On a ${\frac {1}{2}}\times 9,81t_{1}^{2}=340(t_{2}-t_{1})$

Donc ${\frac {1}{2}}\times 9,81t_{1}^{2}=340\times 4,5-340t_{1}$

Donc ${\frac {1}{2}}\times 9,81t_{1}^{2}-340\times 4,5+340t_{1}=0$

Donc $4,905t_{1}^{2}+340t_{1}-1530=0$

4. Résoudre l’équation $5t_{1}^{2}+340t_{1}-1530=0$ sachant que la ou les solutions doivent être réalistes.

On remarquera qu'au passage, on a arrondi 4,905 à 5.

On calcule le discriminant :

${\begin{aligned}\Delta &=340^{2}-4\times 5\times (-1530)\\&=146\,200\end{aligned}}$

L'équation admet donc deux racines réelles $x_{1}={\frac {-340-{\sqrt {146\,200}}}{2\times 5}}$ et $x_{2}={\frac {-340+{\sqrt {146\,200}}}{2\times 5}}$

On voit que $x_{1}<0$, donc ne peut pas être solution du problème physique considéré, la chute commençant à l'instant t=0.

Il reste donc $x_{2}\approx 4,24$

On obtient finalement $t_{1}\approx 4,24~{\rm {s}}$

5. Trouver la profondeur du canyon.

On peut alors remonter à la profondeur du canyon en utilisant la formule de la question 1 :

$p={\frac {1}{2}}\times 9,81\times t_{1}^{2}=88,2~{\rm {m}}$