Une entreprise fabrique une quantité x d'un produit, comprise dans l'intervalle [0, 20].
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Situation économique conduisant à une étude de signe
Équations et fonctions du second degré/Exercices/Situation économique conduisant à une étude de signe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par
.
La production est vendue à un prix unitaire de 84 000 €.
- Exprimer en fonction de x le chiffre d'affaire total r(x).
- Exprimer en fonction de x le bénéfice b(x) = r(x) – f(x) (en déduisant les coûts de production).
- Étudier le signe du polynôme b et interpréter le résultat en termes de bénéfice. Pour ce faire :
- Mettre x en facteur dans l’expression de b(x).
- Étudier le signe du facteur de degré 2.
- Étudier alors le signe de b(x).
- Conclure en termes de bénéfice.
Solution
- La fonction r est la fonction linéaire définie par
(le résultat est exprimé en €).
- La fonction bénéfice est définie par
.
-
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+},~b(x)=x(-x^{2}+30x+83700)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1a4cd5d1ad2be3e651b5f704c135db68c4e172)
- Le discriminant du polynôme de degré 2 vaut :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=30^{2}-4\times (-1)\times 83700\\&=900+334800\\&=335700.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487adf9c8ed8078eee452b4e08a876e4adb5aa59)
- On calcule les racines du polynôme :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}&={\frac {-30-{\sqrt {335700}}}{-2}}&={\frac {30(1+{\sqrt {373}})}{2}}&=15(1+{\sqrt {373}}),\\x_{2}&={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}&={\frac {-30+{\sqrt {335700}}}{-2}}&={\frac {30(1-{\sqrt {373}})}{2}}&=15(1-{\sqrt {373}}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db842d9d30bca905d15bbdcb2df95812e3131a83)
Comme le coefficient du terme de degré 2 est négatif, le trinôme est positif sur l'intervalle
et négatif ailleurs. On trace alors le tableau de signes de b. On rappelle qu'on ne s'intéresse qu'aux valeurs x positives, aussi on restreint le tableau à
.
Si l'on regarde le signe de x₁ et x₂, on s'aperçoit que
et
.
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&15(1+{\sqrt {373}})&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}-x^{2}+30x+83700&&+&0&-&\\\hline {\text{Signe de }}x&&+&&+&\\\hline {\text{Signe de }}b(x)&&+&0&-&\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79ad0d6601895bcc06d34a3f19265f26b92a3ec)
- On ne s'intéresse qu'au cas où la société produit une quantité inférieure à 20. Dans ce cas, b reste positive. L’entreprise est donc rentable.