Équations et fonctions du second degré/Exercices/Situation économique conduisant à une étude de signe

Une entreprise fabrique une quantité x d'un produit, comprise dans l'intervalle [0, 20].

Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par $f:x\mapsto x^{3}-30x^{2}+300x$.

La production est vendue à un prix unitaire de 84 000 €.

1. Exprimer en fonction de x le chiffre d'affaire total r(x).
2. Exprimer en fonction de x le bénéfice b(x) = r(x) – f(x) (en déduisant les coûts de production).
3. Étudier le signe du polynôme b et interpréter le résultat en termes de bénéfice. Pour ce faire :
   1. Mettre x en facteur dans l’expression de b(x).
   2. Étudier le signe du facteur de degré 2.
   3. Étudier alors le signe de b(x).
4. Conclure en termes de bénéfice.

Solution

1. La fonction r est la fonction linéaire définie par $r:x\mapsto 84000x$ (le résultat est exprimé en €).
2. La fonction bénéfice est définie par $b:x\mapsto -x^{3}+30x^{2}+83700x$.
3. 1. Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{+},~b(x)=x(-x^{2}+30x+83700)$
   2. Le discriminant du polynôme de degré 2 vaut :
      ${\begin{aligned}\Delta &=30^{2}-4\times (-1)\times 83700\\&=900+334800\\&=335700.\end{aligned}}$
   3. On calcule les racines du polynôme :
      ${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}&={\frac {-30-{\sqrt {335700}}}{-2}}&={\frac {30(1+{\sqrt {373}})}{2}}&=15(1+{\sqrt {373}}),\\x_{2}&={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}&={\frac {-30+{\sqrt {335700}}}{-2}}&={\frac {30(1-{\sqrt {373}})}{2}}&=15(1-{\sqrt {373}}).\end{aligned}}$
      Comme le coefficient du terme de degré 2 est négatif, le trinôme est positif sur l'intervalle $[x_{1},x_{2}]$ et négatif ailleurs. On trace alors le tableau de signes de b. On rappelle qu'on ne s'intéresse qu'aux valeurs x positives, aussi on restreint le tableau à $[0,+\infty [$.
      Si l'on regarde le signe de x₁ et x₂, on s'aperçoit que $x_{1}>304>0$ et $x_{2}<-274<0$.
      ${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&15(1+{\sqrt {373}})&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}-x^{2}+30x+83700&&+&0&-&\\\hline {\text{Signe de }}x&&+&&+&\\\hline {\text{Signe de }}b(x)&&+&0&-&\\\hline \end{array}}$
4. On ne s'intéresse qu'au cas où la société produit une quantité inférieure à 20. Dans ce cas, b reste positive. L’entreprise est donc rentable.