Équations et fonctions du second degré/Fonctions trinôme et complexes
Trinômes à coefficients réels
modifierSoit la fonction polynomiale du second degré ƒ définie pour tout , avec
- a, b et c trois coefficients réels
- a non nul.
Lors de la mise sous forme canonique de ƒ, on a vu que
Si
Finalement, le théorème de niveau 11 se généralise de la façon suivante :
Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant :
- Si alors le trinôme a deux racines réelles distinctes:
et
- Si alors le trinôme a une racine réelle double:
- Si alors le trinôme a deux racines complexes conjuguées:
et où
Trouver les racines de la fonction polynomiale .
Le discriminant de ƒ est strictement négatif : , donc ƒ n'admet aucune racine réelle. En revanche, il existe deux racines complexes de ƒ, définies par :
et
On peut factoriser ƒ dans :
Trinôme complexe
modifierToutes les notions que l’on a vues se généralisent dans .
Soit la fonction polynomiale du second degré ƒ définie pour tout , avec
- a, b et c trois coefficients complexes
- a non nul.
Le discriminant de ƒ est défini par .
Si , Δ admet deux racines carrées complexes distinctes et .
- Voir le cours sur les complexes pour le rappel de la méthode de calcul des racines carrées d'un complexe.
Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant :
- Si alors le trinôme a deux racines :
et
- Si alors le trinôme a une racine complexe avec une partie réelle double :
Factoriser la fonction trinôme définie sur par .
- Son discriminant vaut :
- donc Δ admet deux racines carrées distinctes : et
- Les racines de f sont alors :
et
Donc