Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré

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Définitions

Racines d'une fonction polynomiale

Les racines d'une fonction trinôme f sont les solutions de l'équation f(x) = 0.

Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l’axe des abscisses (horizontal).

Discriminant

Soit f une fonction polynomiale définie par $f:x\mapsto ax^{2}+bx+c$, avec

• a, b, c trois réels
• a non nul.

Le discriminant de f est le réel $\Delta =b^{2}-4ac$.

Début de l'exemple

Exemple

Soit $f(x)=5x^{2}+7x+8$.

f est un polynôme du second degré, de coefficients a = 5, b = 7 et c = 8. Son discriminant est :

$\Delta =7^{2}-4\times 5\times 8=49-160=-111$.

Fin de l'exemple

Discriminant et racines

On a déjà vu au chapitre précédent que la forme canonique d'une fonction trinôme fournit deux valeurs importantes dans son tableau de variations (les coordonnées du sommet de la parabole).

Rappel

La forme canonique de la fonction trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ est $f(x)=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right]$.

On peut d'ailleurs la retrouver en commençant par faire apparaître le début d'un carré parfait :

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right].\end{aligned}}$

Début de l'exemple

Exemple

Donner la forme canonique des expressions suivantes :

• f(x) = x² + 5x + 5 ;
• g(x) = −3x² + 6x − 2.

Solution

f est une fonction du second degré avec a = 1, b = 5 et c = 5.

$f(x)=x^{2}+5x+5$

or

$x^{2}+5x+{\frac {25}{4}}=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}$

donc

$x^{2}+5x=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}-{\tfrac {25}{4}}$

et par conséquent,

${\begin{aligned}f(x)&=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}+5\\&=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}-{\tfrac {25}{4}}+{\tfrac {20}{4}}\\&=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}-{\tfrac {5}{4}}.\end{aligned}}$

g est une fonction du second degré avec a = −3, b = 6 et c = −2.

$g(x)=-3x^{2}+6x-2=-3(x^{2}-2x)-2$

or

$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$

donc

$x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$

et par conséquent,

${\begin{aligned}g(x)&=-3[(x-1)^{2}-1]-2\\&=-3(x-1)^{2}+3-2\\&=-3(x-1)^{2}+1.\end{aligned}}$

 

Fin de l'exemple

Cette forme canonique permet en outre de trouver facilement les racines de $f$, c'est-à-dire résoudre l'équation $(E)~:~f(x)=0$ d'inconnue $x$.

En effet,

$(E)\Leftrightarrow a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right]=0$

donc (comme $a\neq 0$)

$(E)\Leftrightarrow \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}=0\Leftrightarrow \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {\Delta }{4a^{2}}}$.

Sous cette forme, il est bien plus simple de résoudre l'équation en distinguant différents cas :

• si $\Delta >0,~(E)\Leftrightarrow \left[x+{\frac {b}{2a}}={\sqrt {\frac {\Delta }{4a^{2}}}}{\text{ ou }}x+{\frac {b}{2a}}=-{\sqrt {\frac {\Delta }{4a^{2}}}}\right]\Leftrightarrow \left[x={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}{\text{ ou }}x={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right]$ ;
• si $\Delta =0,~(E)\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{2a}}$ ;
• si $\Delta <0$, il ne peut pas y avoir de racine réelle, puisqu’un carré ne peut pas être strictement négatif.

Finalement, voici ce qu’il faut absolument retenir :

Début d’un théorème

Théorème

Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant.

• Si $\Delta >0$ alors le trinôme a deux racines réelles distinctes :
  $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ et $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$
• Si $\Delta =0$ alors le trinôme a une racine réelle :
  $x_{0}=-{\frac {b}{2a}}$
• Si $\Delta <0$ alors le trinôme n'a pas de racine réelle mais deux racines complexes conjuguées.

Fin du théorème

On remarque que dans le cas $\Delta =0$, $x_{0}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$. On dit que la racine est double.

Méthode du Produit-Somme

En plus de la forme canonique, la forme factorisée peut également permettre de facilement résoudre l'équation $(E)~:~f(x)=0$ d'inconnue $x$.

Rappel

La factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit.

Par exemple, l'expression $ab+ac$ peut s'écrire sous la forme factorisée $a(b+c)$.

La méthode consiste à former $b$ dans la fonction trinôme $ax^{2}+bx+c$ à partir de la somme de $m$ et $p$, entiers dont le produit est égal à $ac$.

Début de l'exemple

Exemple

Pour résoudre l'équation $3x^{2}+2x-5=0$, je dois trouver $m$ et $p$ tel que ${\begin{cases}m+p=2\\mp=3\times 5\end{cases}}$

Je commence par décomposer $15$ en produit de facteurs premiers donc $3\times 5$.

Je remplace $2x$ par $(5-3)x$ puisque $5-3=2$ et $5\times 3=15$.

J'obtiens donc $3x^{2}+(5-3)x-5=0$ que je développe en $3x^{2}+3x-5x-5$.

J'effectue une mise en évidence simple dans les deux groupes $3x^{2}+3x$ et $-5x-5$ ce qui me donne $3x(x+1)-5(x+1)=0$.

J'effectue ensuite une seconde mise en évidence simple avec le facteur commun $(x-1)$ ce qui donne $(3x+5)(x-1)=0$.

Grace à la règle du produit nul, je sais que $3x+5=0$ donc, en résolvant simplement l'équation, que $x=-{\frac {5}{3}}$ ou bien que $x-1=0$ et donc que $x=1$.

J'obtiens donc $S$, ensemble des solutions de l'équation tel que $S=\{-{\frac {5}{3}};1\}$.

Fin de l'exemple

Conséquences graphiques

Début d’un principe

Interprétation graphique

Les racines de f correspondent aux abscisses des points d'intersection de ${\mathcal {C}}$, la courbe représentative de f, et de l’axe des abscisses (horizontal).

Fin du principe

• Si $\Delta <0$ alors il n'y a pas d'intersection entre ${\mathcal {C}}$ et l’axe des abscisses.
• Si $\Delta =0$ alors ${\mathcal {C}}$ et l’axe des abscisses admettent un point d'intersection, de coordonnées $\left(-{\frac {b}{2a}};0\right)$
• Si $\Delta >0$ alors ${\mathcal {C}}$ et l’axe des abscisses admettent deux points d'intersection, de coordonnées $\left({\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}};0\right)$ et $\left({\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}};0\right)$

Les 6 cas qui peuvent se présenter

	Δ > 0	Δ = 0	Δ < 0
a > 0	Deux racines	Une racine	Pas de racines
a < 0	Deux racines	Une racine	Pas de racines

Exemples

Début de l'exemple

Exemple détaillé

Calculer le discriminant puis les racines éventuelles des trinômes suivants.

• f(x) = 7x² + 6x − 1 ;
• g(x) = −3x² − 6x − 9.

Solution

f est un polynôme du second degré avec a = 7, b = 6 et c = −1.

$\Delta =b^{2}-4ac=6^{2}-4\times 7\times (-1)=36+28=64>0$

donc f a deux racines :

$x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-6-{\sqrt {64}}}{2\times 7}}={\frac {-6-8}{14}}={\frac {-14}{14}}=-1$

et

$x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-6+{\sqrt {64}}}{2\times 7}}={\frac {-6+8}{14}}={\frac {2}{14}}={\frac {1}{7}}$.

g est un polynôme du second degré avec a = −3, b = −4 et c = −9.

$\Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times (-3)\times (-9)=16-108=-92<0$

donc g n'a aucune racine réelle.

 

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Autres exemples

Calculer le discriminant puis les racines éventuelles des trinômes suivants. Vérifier la cohérence des résultats avec les courbes tracées plus haut.

• $f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$ ;
• $f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$ ;
• $f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$ ;
• $f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$.

Solution

• $f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$

  $\Delta =3^{2}-4\times 2\times 1=9-8=1>0$ donc f₁ a deux racines réelles :

  $x_{1}={\frac {-3-{\sqrt {1}}}{2\times 2}}=-{\frac {4}{4}}=-1$ et

  $x_{2}=-{\frac {2}{4}}=-{\frac {1}{2}}$.

• $f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$

  $\Delta =(-2)^{2}-4\times 1\times 2=4-8=-4<0$ donc f₂ n'a aucune racine réelle.

• $f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$

  $\Delta =0^{2}-4\times (-1)\times 3=12>0$ donc f₃ a deux racines réelles :

  $x_{1}={\frac {-0+{\sqrt {12}}}{2\times (-1)}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{-2}}=-{\sqrt {3}}$ et

  $x_{2}={\frac {-0-{\sqrt {12}}}{2\times (-1)}}={\frac {-2{\sqrt {3}}}{-2}}={\sqrt {3}}$.

• $f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$

  $\Delta =(-1)^{2}-4\times (-3)\times 0=1>0$ donc f₄ a deux racines réelles :

  $x_{1}={\frac {-(-1)+{\sqrt {1}}}{2\times (-3)}}={\frac {2}{-6}}=-{\frac {1}{3}}$ et

  $x_{2}={\frac {-(-1)-{\sqrt {1}}}{2\times (-3)}}={\frac {0}{-6}}=0$.

 

Fin de l'exemple