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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Équations et fonctions du second degré : Équations du second degré Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Racines d'une fonction polynomiale
Les racines d'une fonction trinôme f sont les solutions de l'équation f(x) = 0 .
Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l’axe des abscisses (horizontal).
Discriminant
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Soit f une fonction polynomiale définie par
f
:
x
↦
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f:x\mapsto ax^{2}+bx+c}
, avec
a , b , c trois réels
a non nul .
Le
discriminant de
f est le réel
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}
.
Début de l'exemple
Exemple
Soit
f
(
x
)
=
5
x
2
+
7
x
+
8
{\displaystyle f(x)=5x^{2}+7x+8}
.
f est un polynôme du second degré, de coefficients a = 5, b = 7 et c = 8. Son discriminant est :
Δ
=
7
2
−
4
×
5
×
8
=
49
−
160
=
−
111
{\displaystyle \Delta =7^{2}-4\times 5\times 8=49-160=-111}
.
Fin de l'exemple
On a déjà vu au chapitre précédent que la forme canonique d'une fonction trinôme fournit deux valeurs importantes dans son tableau de variations (les coordonnées du sommet de la parabole).
Rappel
La
forme canonique de la fonction trinôme
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
est
f
(
x
)
=
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
Δ
4
a
2
]
{\displaystyle f(x)=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right]}
.
On peut d'ailleurs la retrouver en commençant par faire apparaître le début d'un carré parfait :
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f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
2
+
b
a
x
+
c
a
)
=
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
+
c
a
]
=
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
4
a
2
+
c
a
]
=
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
(
b
2
−
4
a
c
4
a
2
)
]
=
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
Δ
4
a
2
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right].\end{aligned}}}
Début de l'exemple
Exemple
Donner la forme canonique des expressions suivantes :
f (x ) = x 2 + 5x + 5 ;
g (x ) = −3x 2 + 6x − 2.
Solution
f est une fonction du second degré avec a = 1, b = 5 et c = 5.
f
(
x
)
=
x
2
+
5
x
+
5
{\displaystyle f(x)=x^{2}+5x+5}
or
x
2
+
5
x
+
25
4
=
(
x
+
5
2
)
2
{\displaystyle x^{2}+5x+{\frac {25}{4}}=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}}
donc
x
2
+
5
x
=
(
x
+
5
2
)
2
−
25
4
{\displaystyle x^{2}+5x=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}-{\tfrac {25}{4}}}
et par conséquent,
f
(
x
)
=
(
x
+
5
2
)
2
+
5
=
(
x
+
5
2
)
2
−
25
4
+
20
4
=
(
x
+
5
2
)
2
−
5
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}+5\\&=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}-{\tfrac {25}{4}}+{\tfrac {20}{4}}\\&=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}-{\tfrac {5}{4}}.\end{aligned}}}
g est une fonction du second degré avec a = −3, b = 6 et c = −2.
g
(
x
)
=
−
3
x
2
+
6
x
−
2
=
−
3
(
x
2
−
2
x
)
−
2
{\displaystyle g(x)=-3x^{2}+6x-2=-3(x^{2}-2x)-2}
or
x
2
−
2
x
+
1
=
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}}
donc
x
2
−
2
x
=
(
x
−
1
)
2
−
1
{\displaystyle x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1}
et par conséquent,
g
(
x
)
=
−
3
[
(
x
−
1
)
2
−
1
]
−
2
=
−
3
(
x
−
1
)
2
+
3
−
2
=
−
3
(
x
−
1
)
2
+
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=-3[(x-1)^{2}-1]-2\\&=-3(x-1)^{2}+3-2\\&=-3(x-1)^{2}+1.\end{aligned}}}
Fin de l'exemple
Cette forme canonique permet en outre de trouver facilement les racines de
f
{\displaystyle f}
, c'est-à-dire résoudre l'équation
(
E
)
:
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle (E)~:~f(x)=0}
d'inconnue
x
{\displaystyle x}
.
En effet,
(
E
)
⇔
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
Δ
4
a
2
]
=
0
{\displaystyle (E)\Leftrightarrow a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right]=0}
donc (comme
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
)
(
E
)
⇔
(
x
+
b
2
a
)
2
−
Δ
4
a
2
=
0
⇔
(
x
+
b
2
a
)
2
=
Δ
4
a
2
{\displaystyle (E)\Leftrightarrow \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}=0\Leftrightarrow \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {\Delta }{4a^{2}}}}
.
Sous cette forme, il est bien plus simple de résoudre l'équation en distinguant différents cas :
si
Δ
>
0
,
(
E
)
⇔
[
x
+
b
2
a
=
Δ
4
a
2
ou
x
+
b
2
a
=
−
Δ
4
a
2
]
⇔
[
x
=
−
b
+
Δ
2
a
ou
x
=
−
b
−
Δ
2
a
]
{\displaystyle \Delta >0,~(E)\Leftrightarrow \left[x+{\frac {b}{2a}}={\sqrt {\frac {\Delta }{4a^{2}}}}{\text{ ou }}x+{\frac {b}{2a}}=-{\sqrt {\frac {\Delta }{4a^{2}}}}\right]\Leftrightarrow \left[x={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}{\text{ ou }}x={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right]}
;
si
Δ
=
0
,
(
E
)
⇔
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle \Delta =0,~(E)\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{2a}}}
;
si
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
, il ne peut pas y avoir de racine réelle, puisqu’un carré ne peut pas être strictement négatif.
Finalement, voici ce qu’il faut absolument retenir :
Début d’un théorème
Fin du théorème
On remarque que dans le cas
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
,
x
0
=
−
b
+
Δ
2
a
=
−
b
−
Δ
2
a
{\displaystyle x_{0}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
. On dit que la racine est double.
En plus de la forme canonique, la forme factorisée peut également permettre de facilement résoudre l'équation
(
E
)
:
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle (E)~:~f(x)=0}
d'inconnue
x
{\displaystyle x}
.
Rappel
La
factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit.
Par exemple, l'expression
a
b
+
a
c
{\displaystyle ab+ac}
peut s'écrire sous la forme factorisée
a
(
b
+
c
)
{\displaystyle a(b+c)}
.
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La méthode consiste à former
b
{\displaystyle b}
dans la fonction trinôme
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
à partir de la somme de
m
{\displaystyle m}
et
p
{\displaystyle p}
, entiers dont le produit est égal à
a
c
{\displaystyle ac}
.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple détaillé
Calculer le discriminant puis les racines éventuelles des trinômes suivants.
f (x ) = 7x 2 + 6x − 1 ;
g (x ) = −3x 2 − 6x − 9.
Solution
f est un polynôme du second degré avec a = 7, b = 6 et c = −1.
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
6
2
−
4
×
7
×
(
−
1
)
=
36
+
28
=
64
>
0
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=6^{2}-4\times 7\times (-1)=36+28=64>0}
donc f a deux racines :
x
1
=
−
b
−
Δ
2
a
=
−
6
−
64
2
×
7
=
−
6
−
8
14
=
−
14
14
=
−
1
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-6-{\sqrt {64}}}{2\times 7}}={\frac {-6-8}{14}}={\frac {-14}{14}}=-1}
et
x
2
=
−
b
+
Δ
2
a
=
−
6
+
64
2
×
7
=
−
6
+
8
14
=
2
14
=
1
7
{\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-6+{\sqrt {64}}}{2\times 7}}={\frac {-6+8}{14}}={\frac {2}{14}}={\frac {1}{7}}}
.
g est un polynôme du second degré avec a = −3, b = −4 et c = −9.
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
(
−
4
)
2
−
4
×
(
−
3
)
×
(
−
9
)
=
16
−
108
=
−
92
<
0
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times (-3)\times (-9)=16-108=-92<0}
donc g n'a aucune racine réelle.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple