Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré

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Équations du second degré
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Chapitre no 2
Leçon : Équations et fonctions du second degré
Chap. préc. :Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)
Chap. suiv. :Inéquations du second degré
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DéfinitionsModifier



Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Discriminant et racinesModifier

On a déjà vu au chapitre précédent que la forme canonique d'une fonction trinôme fournit deux valeurs importantes dans son tableau de variations (les coordonnées du sommet de la parabole).


On peut d'ailleurs la retrouver en commençant par faire apparaître le début d'un carré parfait :

Wikipédia possède un article à propos de « Complétion du carré ».

 

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Cette forme canonique permet en outre de trouver facilement les racines de  , c'est-à-dire résoudre l'équation   d'inconnue  .

En effet,
 
donc (comme  )
 .

Sous cette forme, il est bien plus simple de résoudre l'équation en distinguant différents cas :

  • si   ;
  • si   ;
  • si  , il ne peut pas y avoir de racine réelle, puisqu’un carré ne peut pas être strictement négatif.

Finalement, voici ce qu’il faut absolument retenir :

Début d’un théorème
Fin du théorème


On remarque que dans le cas  ,  . On dit que la racine est double.

Méthode du Produit-SommeModifier

En plus de la forme canonique, la forme factorisée peut également permettre de facilement résoudre l'équation   d'inconnue  .

Wikipédia possède un article à propos de « Méthode du produit-somme ».

La méthode consiste à former   dans la fonction trinôme   à partir de la somme de   et  , entiers dont le produit est égal à  .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Conséquences graphiquesModifier

Début d’un principe
Fin du principe


  • Si   alors il n'y a pas d'intersection entre   et l’axe des abscisses.
  • Si   alors   et l’axe des abscisses admettent un point d'intersection, de coordonnées  
  • Si   alors   et l’axe des abscisses admettent deux points d'intersection, de coordonnées   et  


Les 6 cas qui peuvent se présenter
Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
a > 0 Deux racines   Une racine   Pas de racines  
a < 0 Deux racines   Une racine   Pas de racines  


ExemplesModifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple