Étude de fonctions/Fonction dérivée

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Définition

Fonction dérivée

Soient $f$ une fonction et $I$ l'ensemble des nombres réels en lesquels $f$ est dérivable.

La fonction de $I$ dans $\mathbb {R}$ qui à tout nombre $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f^{\prime }(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ et est notée $f^{\prime }$.

Dérivées successives

Ceci permet de définir par récurrence les dérivées successives de $f$ et sa classe de régularité (voir le § « Classes de régularité et dérivées d'ordre supérieur » du chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle) mais à notre niveau, seule la définition suivante sera parfois utile :

Dérivée seconde

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Si sa fonction dérivée $f^{\prime }$ est dérivable sur cet intervalle $I$ alors elle admet une fonction dérivée sur $I$ appelée dérivée seconde de $f$ et notée $f^{\prime \prime }$.

On dit alors que $f$ est deux fois dérivable sur $I$.

Avec la notation différentielle, on écrit $f^{\prime }={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ et $f^{\prime \prime }={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}$.

Opérations et dérivées

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$

Opération	Dérivée
Somme	$(u+v)^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
Produit	$(u\times v)^{\prime }=u^{\prime }\times v+v^{\prime }\times u$
Produit par un réel	$(k\times u)^{\prime }=k\times u^{\prime }$
Carré d'une fonction	$\left(u^{2}\right)^{\prime }=2u^{\prime }u$
Cube d'une fonction	$\left(u^{3}\right)^{\prime }=3u^{\prime }u^{2}$
Inverse $u(x)\neq 0$ $\forall x\in I$	$\left({\frac {1}{u}}\right)^{\prime }={\frac {-u^{\prime }}{u^{2}}}$
Quotient $v(x)\neq 0$ $\forall x\in I$	$\left({\frac {u}{v}}\right)^{\prime }={\frac {u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^{2}}}$

Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de $\mathbb {R}$ où elles sont définies

Dérivées d'une composée et d'une réciproque

Les deux théorèmes suivants (entre autres) sont démontrés dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle (de niveau 14). Pour d'autres compléments, voir d'abord la leçon « Fonction dérivée », de niveau 12 comme la présente leçon.

Début d’un théorème

Dérivée d'une fonction composée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ tel que $f(I)\subset J$. Alors $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et on a $(g\circ f)^{\prime }=f^{\prime }\times (g^{\prime }\circ f)$.

Fin du théorème

Corollaire

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Pour tout entier naturel $n$ $n\geq 2$ $(u^{n})^{\prime }=nu^{\prime }u^{n-1}$.

Si $u$ est strictement positive sur $I$ $({\sqrt {u}})^{\prime }={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}$

Début d’un théorème

Dérivée d'une bijection réciproque

Soient $I,J$ deux intervalles réel et $f:I\to J$ une bijection strictement monotone et dérivable, dont la dérivée ne s'annule pas. Alors la bijection réciproque $f^{-1}:J\to I$ est dérivable et

$(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$.

Fin du théorème

Sens de variation (théorème)

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$.

• Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)\geq 0$ alors $f$ est croissante sur $I$.
• Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)\leq 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$.
• Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)>0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)<0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Extremum local (théorème)

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb {R}$ et $x_{0}$ un nombre de $I$. Si $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ alors $f^{\prime }(x_{0})=0$.

Tableau des dérivés

	$(ax+b)^{\prime }=a$
	$(u+v)^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
	$(uv)^{\prime }=u^{\prime }v+v^{\prime }u$
	$(e^{u})^{\prime }=u^{\prime }e^{u}$
	$(u\circ v)^{\prime }=(u^{\prime }\circ v)\times v^{\prime }$
$u>0$	$(\ln u)^{\prime }={\frac {u^{\prime }}{u}}$
Soit $n>1$ ​Soit $u\neq 0$ et $n\in \mathbb {Z}$ ​Soit $u>0$ et $n\in \mathbb {Q}$	$\left(u^{n}\right)^{\prime }=nu^{\prime }u^{n-1}$
$\forall {\frac {-\pi }{2}}<x+k\pi <{\frac {\pi }{2}}$ avec $k\in \mathbb {Z}$	$(\tan x)^{\prime }=1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$
	$(\cos x)^{\prime }=-\sin x$
	$(\sin x)^{\prime }=\cos x$