Étude de fonctions/Fonction dérivée

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Fonction dérivée
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Chapitre no 4
Leçon : Étude de fonctions
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Définition modifier


Dérivées successives modifier

Ceci permet de définir par récurrence les dérivées successives de   et sa classe de régularité (voir le § « Classes de régularité et dérivées d'ordre supérieur » du chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle) mais à notre niveau, seule la définition suivante sera parfois utile :


Avec la notation différentielle, on écrit   et  .

Opérations et dérivées modifier

Soit   et   deux fonctions dérivables sur un intervalle  

Opération Dérivée
Somme  
Produit  
Produit par un réel  
Carré d'une fonction  
Cube d'une fonction  
Inverse      
Quotient      

Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de   où elles sont définies

Dérivées d'une composée et d'une réciproque modifier

Les deux théorèmes suivants (entre autres) sont démontrés dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle (de niveau 14). Pour d'autres compléments, voir d'abord la leçon « Fonction dérivée », de niveau 12 comme la présente leçon.

Début d’un théorème
Fin du théorème



Début d’un théorème
Fin du théorème


Sens de variation (théorème) modifier

Soit une fonction   définie et dérivable sur un intervalle  .

  • Si pour tout   on a   alors   est croissante sur  .
  • Si pour tout   on a   alors   est décroissante sur  .
  • Si pour tout   on a   alors   est strictement croissante sur  .
  • Si pour tout   on a   alors   est strictement décroissante sur  .

Extremum local (théorème) modifier

Soit une fonction   définie et dérivable sur un intervalle   de   et   un nombre de  . Si   admet un extremum local en   alors  .

Tableau des dérivés modifier

 
 
 
 
 
   
Soit  
​Soit   et  
​Soit   et  
 
  avec