Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions
Taux de variation
modifierSoit une fonction définie au voisinage d'un réel .
Le taux de variation de entre et (avec , suffisamment petit pour que soit définie en ) est :
Condition de dérivabilité d’une fonction en un point
modifierSoit une fonction définie sur un intervalle et soit un nombre de . On dit que la fonction est dérivable en si son taux de variation entre et admet une limite finie quand tend vers , c'est-à-dire s'il existe un nombre réel tel que :
ou, ce qui est équivalent, tel que :
- pour tout réel tel que ,
où est une fonction telle que .
L'équivalence entre ces deux conditions sera démontrée dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.
Nombre dérivé
modifierLe nombre réel est appelé nombre dérivé de en . Ce nombre dérivé est noté .
En résumé : si est dérivable en alors le nombre dérivé en est égal à la limite du taux de variation en :
. |
Continuité et dérivabilité
modifier
donc si est dérivable en , c'est-à-dire si ,
alors , c'est-à-dire que est continue en .
Attention ! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction est continue sur , mais elle n’est pas dérivable en . Il existe même des fonctions continues sur qui ne sont dérivables en aucun point ! On ne peut pas toujours « faire un dessin ».
Tangente à la courbe d’une fonction en un point (équation cartésienne)
modifierSoit une fonction dérivable en et soit sa représentation graphique. La tangente à la courbe au point a pour équation :
Pour plus de détails, voir le chapitre « Équation d'une tangente » de la leçon « Fonction dérivée ».