Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions

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Nombre dérivé de fonctions
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Chapitre no 3
Leçon : Étude de fonctions
Chap. préc. :Continuité
Chap. suiv. :Fonction dérivée
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Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions
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Taux de variation

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Soit   une fonction définie au voisinage d'un réel  .

Le taux de variation   de   entre   et   (avec  , suffisamment petit pour que   soit définie en  ) est :

 .

Condition de dérivabilité d’une fonction en un point

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Soit   une fonction définie sur un intervalle   et soit   un nombre de  . On dit que la fonction   est dérivable en   si son taux de variation entre   et   admet une limite finie quand   tend vers  , c'est-à-dire s'il existe un nombre réel   tel que :

 

ou, ce qui est équivalent, tel que :

  pour tout réel   tel que  ,

  est une fonction telle que  .

L'équivalence entre ces deux conditions sera démontrée dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.

Nombre dérivé

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Le nombre réel   est appelé nombre dérivé de   en  . Ce nombre dérivé est noté  .

En résumé : si   est dérivable en   alors le nombre dérivé en   est égal à la limite du taux de variation en   :


 .


Continuité et dérivabilité

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Attention ! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction   est continue sur  , mais elle n’est pas dérivable en  . Il existe même des fonctions continues sur   qui ne sont dérivables en aucun point ! On ne peut pas toujours « faire un dessin ».

Tangente à la courbe d’une fonction en un point (équation cartésienne)

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Soit   une fonction dérivable en   et soit   sa représentation graphique. La tangente à la courbe   au point   a pour équation :

 .

Pour plus de détails, voir le chapitre « Équation d'une tangente » de la leçon « Fonction dérivée ».