Étude de fonctions/Limites et asymptotes

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Limites et asymptotes
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Chapitre no 1
Leçon : Étude de fonctions
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Approche

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  • Soit  .

Que se passe-t-il lorsque   devient de plus en plus grand, autrement dit, lorsque   tend vers l'infini ?
  tend également vers l'infini.

On note :  .

On énonce : « la limite de   quand   tend vers   est égale à   ».

De même, nous pouvons écrire :  .

Intéressons-nous maintenant à une valeur précise de  . Par exemple, pour  ,  . Mais alors si   tend vers 4,   va s'approcher de plus en plus de   :  .

  • Soit  .

Si   est un réel quelconque, on a bien :  .

Lorsque   devient très grand, nous pouvons concevoir que   devient très petit, se rapprochant de 0 :  .

De même, quand   prend des valeurs négatives dont la valeur absolue est très grande,  .

  • Soit  . Essayons de calculer sa limite aux infinis :
     
    or nous savons que :
    •  
    •  
    •  
    donc   et finalement  .
  • Plus généralement, calculons la limite d'une fonction polynôme :
    Soit  .
     .
    Or :
    • lorsque   
    •  
    d'où :  
    et :  .

Nous retiendrons qu'une fonction polynôme se comporte, aux infinis, comme son terme de plus haut degré.

Définition

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Limite finie en l'infini

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  • Soit   une fonction définie d'un nombre réel jusqu'à l'infini. Soit   un nombre réel. On dit que   tend vers   quand   tend vers   si et seulement si tout intervalle ouvert contenant   contient aussi toutes les valeurs de   pour   assez grand. On écrit :

 

  • On dit que   tend vers   quand   tend vers   si et seulement si tout intervalle ouvert contenant   contient aussi toutes les valeurs de   pour   assez grand (ou   assez petit,   pouvant être négatif). On écrit :

 

Interprétation graphique

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  admet une asymptote horizontale d'équation   au voisinage de  

L'asymptote d'une courbe représentative d'une fonction dans un plan est une droite qui partage une limite commune avec la fonction étudiée. L'équation de cette asymptote dépend de la situation de la limite commune (en l'infini ou en un point...)

Limite infinie en l'infini

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  • On dit que la fonction   tend vers   quand   tend vers   si et seulement si tout intervalle   avec   un nombre réel contient toutes les valeurs de   pour   suffisamment grand. On écrit :

 

  • On dit que la fonction   tend vers   quand   tend vers   si et seulement si tout intervalle   avec   un nombre réel contient toutes les valeurs de   pour   suffisamment grand. On écrit :

 

  • On écrit :

  ou  

si et seulement si tout intervalle   avec   un nombre réel contient toutes les valeurs de   pour   suffisamment petit.

  • On écrit :

  ou  

si et seulement si tout intervalle   avec   un nombre réel contient toutes les valeurs de   pour   suffisamment petit.

Limite finie ou infinie en un réel

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  • Soit   une fonction définie sur un intervalle ouvert   contenant un nombre réel  .

On dit que   tend vers   quand   tend vers   si et seulement si tout intervalle ouvert contenant   contient aussi toutes les valeurs de   pour tout réel   de   assez proche de  . On écrit :

   

  • On dit que   tend vers   quand   tend vers   si et seulement si tout intervalle   avec   un nombre réel contient toutes les valeurs de   pour   suffisamment proche de  . On écrit :

 

  • On dit que   tend vers   quand   tend vers   si et seulement si tout intervalle   avec   un nombre réel contient toutes les valeurs de   pour   suffisamment proche de  . On écrit :

 

Interprétation graphique

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Si   (ou  ) alors   admet une asymptote verticale d'équation   au voisinage de  .

Limite aux infinis de fonctions de référence

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Exemple 1
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2 fonctions affines
  •  
Si   Si  
 
 
   
Exemple 2
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Fonction puissance paire
  •  

 

Exemple 3
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3 fonctions de puissance impaire
  •  

 
 

Exemple 4
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fonction inverse
  •  

avec  
 

Exemple 5
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  •  

 

D'autres outils pour les limites

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Théorèmes

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Théorème de comparaison

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Soient   et   deux fonctions définies sur un intervalle du type   (ou  ) avec   un nombre réel tel que pour tout   appartenant à cet intervalle,  .


Si   alors  

Théorème de l'encadrement (dit "théorème des gendarmes")

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Soient  ,   et   trois fonctions définies sur un intervalle du type   (ou  ) avec   un nombre réel tel que pour tout   appartenant à cet intervalle,  .


Si   avec   un nombre réel ou   ou   alors  

Asymptotes

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La courbe représentative de la fonction inverse, lorsque   est de plus en plus grand ou de plus en plus petit, se rapproche de l’axe des abscisses mais sans la toucher. Cette dernière est en fait une asymptote horizontale de la fonction inverse.

De même, la courbe se rapproche également de l’axe des ordonnées, sans jamais la croiser, lorsque   tend vers 0. Nous avons là une asymptote verticale de la fonction.

Asymptote horizontale et verticale

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Dire que la courbe représentative d'une fonction   se rapproche d'une droite horizontale d'équation   quand   devient très grand (ou très petit) signifie que   tend vers la valeur   quand   tend vers l'infini.

Ainsi, la droite   est asymptote horizontale de   si et seulement si  .

Quand la courbe représentative de   rapproche d'une droite verticale d'équation  , c’est   qui tend vers l'infini cette fois, lorsque x se rapproche de cette valeur  .

On a :  

Chercher une asymptote horizontale d'une fonction revient à calculer la limite en   de cette fonction.

Lorsqu’il y a une asymptote verticale en  , la courbe de la fonction ne touche pas la droite, et donc   n’est pas définie ; il s'agit d'une borne du domaine de définition de la fonction.

Chercher une asymptote verticale d'une fonction revient alors à calculer les limites aux bornes du domaine de définition de cette fonction.

Asymptote oblique

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Soit   une fonction définie sur un intervalle   (ou  ) avec   un nombre réel telle que l’on ait :

 .

Alors la droite d'équation   est une asymptote oblique à la courbe représentative de   au voisinage de   (ou  ).

Limite de la composée de deux fonctions

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Les lettres  ,   et   désignent soit des nombres réels, soit   soit  .
Soit la fonction composée   définie sur un intervalle   contenant  , ou dont   est une borne.

Si   et si   alors