Étude de fonctions/Continuité

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Continuité
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Chapitre no 2
Leçon : Étude de fonctions
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Définition

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Si une fonction   est continue en   alors   est définie en   et admet une limite finie en   qui est  .


Soit   une fonction définie sur un intervalle   et   un nombre de  . On dit que   est continue en   si et seulement si :

  ou  .

Sinon,   est discontinue en  .


  est continue sur l'intervalle   si et seulement si,   est continue en tout nombre de  .

Interprétation graphique

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  est continue sur l'intervalle   signifie que l’on peut tracer la courbe de la fonction   sur   sans avoir à lever le crayon de la feuille.

Fonctions classiques

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Toutes les fonctions     sont définies et continues sur  . Par conséquent, toutes les fonctions polynômes sont définies et continues sur  . Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. La fonction sinus et la fonction cosinus sont continues sur  . La fonction racine carrée est continue sur  .

Opérations sur les fonctions continues

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Opérations classiques

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Théorème

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Soit   et   deux fonctions définies sur un intervalle  , soit   un élément de    et   sont continues. Alors leur somme   , leur produit   et leur quotient   (si   ) et toutes fonctions du type   , ( ) sont des fonctions continues en  . Ceci est démontrable par les propriétés sur les limites.

Corollaire

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Soit   et   deux fonctions définies et continues sur un intervalle  . Alors leur somme   , leur produit   et leur quotient   (si     ) et toutes fonctions du type   , ( ) sont des fonctions continues sur l'intervalle  .

Continuité et composition

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Théorème

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Soit   une fonction définie dans un intervalle   contenant le nombre   et   une fonction définie sur un intervalle   contenant  . Si   est continue en   et si   est continue en   alors,   est continue en  .

Corollaire

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Si   est définie et continue sur un intervalle   et si   est définie et continue sur un intervalle   contenant  . Alors,   est définie et continue sur  .

Conclusion (théorème)

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Si   et si   est continue en   alors,  .

Résolution de l'équation

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Théorème des valeurs intermédiaires

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Si   est une fonction définie et continue sur un intervalle   et si   et   sont deux nombres de   alors, pour tout nombre   compris entre   et   il existe au moins un réel   compris entre   et   tel que  .

Corollaire

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Si   est une fonction définie, continue et monotone sur l'intervalle  ,  . Alors, pour tout nombre   compris entre   et   il n'existe qu'un seul nombre   compris entre   et   tel que  .
​ L'équation   a une et une seule solution dans  .

Cas général

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Si   est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle   et si   et   sont les limites de   aux bornes de cet intervalle (  et   sont des nombres,   ou  ). Alors, pour tout réel   strictement compris entre   et  , il existe une et une seule solution à l'équation  .