Étude des systèmes électriques/Bobine d'induction et circuit RL

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schéma d'un circuit RL

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Présentation du composant

Exemples de bobines

Symbole de la bobine dans un circuit

Dans le cas général, une bobine est un dipôle formé par l'enroulement d'un fil de cuivre, de façon plus ou moins cylindrique. Lorsqu'on soumet une bobine à une différence de potentiel constante U, on observe que l'intensité du circuit augmente progressivement jusqu'à atteindre l'intensité I fournie par le générateur. À présent si l’on coupe l'alimentation de ce circuit, l'intensité le parcourant n'atteint 0 qu'au bout d'un laps de temps, la bobine permet donc de ralentir l'installation ou la disparition de l'intensité dans un circuit.

Établissement du courant électrique dans une bobine

Lorsqu'un courant électrique non constant traverse une bobine, celle-ci crée un champ magnétique qui s'oppose à la variation de l'intensité. Ainsi, lorsqu'on cherche à faire passer un courant d'intensité constante dans une bobine, celui-ci va progressivement s'établir au sein de la bobine : l'intensité passera progressivement de la valeur zéro à la valeur finale constante du courant électrique. C’est pour cela qu'on parle de l'établissement du courant dans une bobine, de façon analogue à la charge d'un condensateur. Une fois le courant établi, la bobine peut être considérée comme un fil puisque la différence de potentiel à ses bornes sera quasi-nulle.

Relation tension - intensité ; inductance

Cela peut paraître évident, mais d’après le paragraphe précédent, il est à noter qu'intensité et tension seront des grandeurs dépendant du temps, que nous noterons parfois u(t) et i(t) pour le marteler.
Tout comme $U=R.i$ pour un conducteur ohmique et $i=C.{\frac {du}{dt}}$ pour un condensateur, il existe une relation entre l'intensité (i en ampères A) traversant une bobine et la tension (u en volts V) à ses bornes :

$u=L.{\frac {di}{dt}}$

où le coefficient constant ($L$) est appelé inductance de la bobine, qui s'exprime en henry (H).

Réponse d'un circuit RL à un échelon de tension

Dans le jargon des physiciens, un "circuit RL" est un circuit où se trouvent en série un générateur, une résistance R et une bobine d'inductance L. On appelle échelon de tension le passage brutal de la tension appliquée à l’ensemble {R + L} d'une valeur nulle à une valeur non nulle : on suppose qu’à t < 0, la tension du générateur est nulle et qu’à partir de t = 0 elle est égale à une constante E.

Équation différentielle

Schéma 1

• D'après la loi d'Ohm, on peut directement écrire que la tension aux bornes de la résistance est $Ri$ pour ne pas ajouter de notations inutiles.
• D'après la loi d'additivité des tensions (ou loi des mailles), E=UL + UR
• À l'aide de la relation intensité tension du paragraphe précédent, on en déduit que $E=Ri+L{\frac {di}{dt}}$

Équation différentielle du circuit RL :

${\frac {E}{L}}={\frac {di}{dt}}+{\frac {R}{L}}i$

Solution

La solution de cette équation différentielle est de la forme $i(t)=Ae^{-kt}+B$

• Au bout d'un temps infini, le courant a une intensité constante (on dit que le régime permanent est atteint) et la bobine peut être assimilée à un fil, ainsi la tension aux bornes de L est nulle et nous avons E = Ri, ce qu'on écrit : quand $t\rightarrow \infty ,i={\frac {E}{R}}$ d'où $B={\frac {E}{R}}$
• Comme i est une fonction continue du temps pour une bobine, elle doit valoir zéro à t = 0 puisque le courant s'est établit progressivement, de zéro à E/R, ce qui nous permet de trouver que : $i(0)=0=A+B$ d'où $A=-B=-{\frac {E}{R}}$
• Enfin, pour trouver k, il faut se servir de l'équation différentielle : puisque la forme proposée est solution de celle-ci, remplaçons i par son expression dans celle-ci, nous obtenons après calculs $k={\frac {R}{L}}$ car l'équation doit être valable pour toute valeur de t, et notamment pour t = 0.
• Solution de l'équation différentielle :

intensité traversant une bobine en fonction du temps :

$i(t)={\frac {E}{R}}(1-e^{-{\frac {R.t}{L}}})$.

Constante de temps du circuit RL

Définition et analyse dimensionnelle

Puisque ce qui se trouve dans une exponentielle ne doit pas avoir de dimension, c’est que le quotient ^{${\frac {L}{R}}$} a la dimension d'un temps. En effet : $[{\frac {L}{R}}]={\frac {[i]}{[u]}}\times {\frac {[u]\times T}{[i]}}=T$ Le quotient ${\frac {L}{R}}$ est donc analogue à une durée qu'on appelle constante de temps et qu'on note : $\tau ={\frac {L}{R}}$. En unités internationales, $\tau$ s'exprime en secondes.

Détermination de la constante de temps

• Tracer la courbe de l'intensité traversant la bobine en fonction du temps lors de son établissement.
• Tracer une droite d'ordonnée la valeur finale d'intensité ($i_{max}$).
• Tracer la tangente à la courbe en t = 0.
• Le point d'intersection des ces deux droites a pour abscisse $\tau$ et à cette abscisse, l'ordonnée de la courbe vaut $\textstyle {(1-e^{-1}).E\approx 0,63.i_{max}}$

Au cours de l'établissement du courant dans une bobine :

• À $t=\tau$, $i=0,63.i_{max}$
• À $t=5\tau$, $i=0,99.i_{max}$ (le courant est quasiment établi)

La constante donne donc un ordre de grandeur de l'établissement du courant et nous pourrons retenir qu'au bout de $5\tau$ le courant est quasiment établi. Le temps de charge d'un circuit RL peut donc être contrôlé en modifiant les valeurs de R et L.

Énergie magnétique emmagasinée dans une bobine

En convention récepteur, la puissance d'une bobine s'écrit : $p(t)=u(t)\times i(t)$

Or, $u(t)=L{\frac {di}{dt}}$

On a donc $p(t)=i(t)\times L{\frac {di}{dt}}={\frac {1}{2}}\times L\times {\frac {di^{2}}{dt}}$

Comme la puissance est l'énergie par unité de temps : ${\frac {dE}{dt}}=p(t)$, on en déduit :

$E(t)={\frac {1}{2}}\times L\times i^{2}$;

L'expression de l'énergie dans une bobine dépend du temps. Sa formule est la suivante :

$E_{L}={\frac {1}{2}}L\times i^{2}$

Inductance équivalente

Il est possible de calculer l'inductance équivalente à celle de plusieurs bobines :

• En série : $L_{1}+L_{2}+...+L_{n}=L_{eq}$
• En dérivation : ${\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}+...+{\frac {1}{L_{n}}}={\frac {1}{L_{eq}}}$