Étude des systèmes électriques/Condensateur et circuit RC

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Symbole du condensateur dans un circuit.

Présentation du composant

Un condensateur est un dipôle constitué de 2 lames métalliques (les armatures) séparées par un isolant (aussi appelé diélectrique) qui permet d'emmagasiner de l'énergie électrique pendant un certain temps, il en existe de différentes formes et de différents types. Notons que les condensateurs électrolytiques (ou chimiques) sont polarisés : il faut alors faire attention au sens dans lequel on les introduit dans un circuit.

Charge d’un condensateur

Les charges s'accumulent sur les armatures.

Lorsqu'on applique un courant électrique aux bornes d’un condensateur, il se charge. Celui-ci peut-être comparé à une pompe à électrons : à chaque fois qu'un électron arrive sur l'une des deux armatures qu'on notera $a$ (en bas sur le schéma), un électron de l'autre armature qu'on notera $b$ (en haut) se dirige vers la borne positive de la pile. Si une charge négative quitte l'armature $b$ alors il apparait sur cette armature une charge positive. À chaque instant $q_{a}=-q_{b}=q$ la charge du condensateur. Petit à petit, il se crée une différence de potentiel électrique entre les armatures $a$ et $b$. Quand cette différence de potentiel (appelée aussi tension électrique) est égale à celle aux bornes de la pile, le condensateur est chargé. Le courant ne circule plus dans le circuit.
Une fois chargé, il conserve une charge électrique sur ses armatures même lorsqu'on le débranche, qu'on le met hors tension : il se comporte comme un réservoir de charges électriques. Si on relie les deux bornes d’un condensateur chargé par un fil électrique il se décharge immédiatement ; il ne faut donc pas toucher les deux bornes d’un condensateur chargé (il y a un risque de choc électrique).

Relation entre intensité et charge du condensateur

Au cours de la charge ou de la décharge d’un condensateur, $q$ varie : c’est une fonction du temps que nous noterons parfois $q(t)$ et qui est a priori dérivable. D'après la définition de l'intensité et en prenant les notations précédentes nous trouvons :

$i={\frac {dq}{dt}}$

où $q$ s'exprime en coulombs ($C$), $i$ en ampères (A) et le temps en secondes (s). Cette intensité peut être positive ou négative, selon que le condensateur se charge ou se décharge.

Capacité d’un condensateur

Condensateurs chimiques de différentes capacités.

La tension électrique (notée u) aux bornes d’un condensateur est proportionnelle à sa charge $q$. On note :

$q=C\times u$

où C est une constante appelée la capacité du condensateur à ne pas confondre avec l'unité de la charge électrique ; celle-ci s'exprime en Farad (F). Comme c’est une unité très grande, les capacités que l’on rencontre le plus fréquemment s'échelonnent entre $10^{-3}$ et $10^{-12}$ farad, c'est-à-dire entre le millifarad (mF) et le picofarad (pF).

Relation intensité tension

Schéma en convention récepteur.

Au cours de la charge ou de la décharge du condensateur, la charge électrique ($q$), l'intensité du courant ($i$) et la tension aux bornes du condensateur ($u$) varient au cours du temps, nous les noterons donc parfois $q(t)$, $i(t)$ et $u(t)$. À l'aide des deux relations précédentes, on peut écrire :
$i={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} C.u}{\mathrm {d} t}}=C.{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}$
$i=C{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}$ pour $u$ et $i$ représentées sur le schéma par des flèches de sens « opposés », c’est ce qu'on appelle la convention récepteur. Si nous avions choisi $u$ et $i$ de même « sens » (convention générateur) cela n'aurait rien changé aux grandeurs réelles bien sûr, mais nous aurions comme relation : $i=-C{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}$

Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension

Dans le jargon des physiciens, un "circuit RC" est un circuit où se trouvent en série une résistance R et un condensateur de capacité C. On appelle échelon de tension le passage brutal de la tension appliquée à l’ensemble {R + C} d’une valeur nulle à une valeur non nulle : on suppose qu’à t <0, la tension du générateur est nulle et qu’à partir de t = 0 elle est égale à une constante E.

Équation différentielle

Schéma 1

• D'après la loi d'Ohm, on peut directement écrire que la tension aux bornes du résistor est $Ri$ pour ne pas ajouter de notations inutiles.
• D'après la loi d'additivité des tensions (ou loi des mailles), $E=Ri+u$
• A l'aide de la relation intensité tension du paragraphe précédent, on en déduit que $E=RC{\frac {du}{dt}}+u$

Équation différentielle du circuit RC :

${\frac {E}{RC}}={\frac {du}{dt}}+{\frac {1}{RC}}u$

Solution

La solution de cette équation différentielle est de la forme $u(t)=Ae^{-kt}+B$

• Au bout d’un temps infini, le condensateur est chargé et le courant ne circule plus dans le circuit, ainsi la tension aux bornes de R est nulle et nous avons E = u, ce qu'on écrit : quand $t\rightarrow \infty ,u=B$ d'où $B=E$
• Comme u est une fonction continue du temps, elle doit valoir zéro à t = 0 puisque le condensateur était déchargé, ce qui nous permet de trouver que : $u(0)=0=A+B$ d'où $A=-B=-E$
• Enfin, pour trouver k, il faut se servir de l'équation différentielle : puisque la forme proposée est solution de celle-ci, remplaçons u par son expression dans celle-ci :

${\frac {d(-Ee^{-kt}+E)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}(-Ee^{-kt}+E)={\frac {E}{RC}}$

$-k(-Ee^{-kt})+{\frac {1}{RC}}(-Ee^{-kt}+E)={\frac {E}{RC}}$

$-k(-Ee^{-kt})+{\frac {1}{RC}}(-Ee^{-kt})+{\frac {E}{RC}}={\frac {E}{RC}}$

$-Ee^{-kt}(-k+{\frac {1}{RC}})=0$

Cette équation devant être valable pour toute valeur de t, et notamment pour t = 0, c’est donc que $-k+{\frac {1}{RC}}=0$ dont nous déduisons $k={\frac {1}{RC}}$

• Solution de l'équation différentielle :

Tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de la charge :
$u(t)=-Ee^{-kt}+E$

$u(t)=E(1-e^{-{\frac {t}{RC}}})$.

Constante de temps du circuit RC

Définition et analyse dimensionnelle

Puisque ce qui se trouve dans une exponentielle ne doit pas avoir de dimension, c’est que le produit ^$R.C$ a la dimension d’un temps. En effet : $[R.C]=[R].[C]={\frac {[u]}{[i]}}\times {\frac {[q]}{[u]}}={\frac {[q]}{\frac {[q]}{T}}}=T$ Le produit $R.C$ est donc analogue à une durée qu'on appelle constante de temps et qu'on note : $\tau =RC$. En unités internationales, $\tau$ s'exprime en secondes.

Détermination de la constante de temps

• Tracer la courbe de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de sa charge.
• Tracer une droite d'ordonnée la valeur finale de la charge ($u_{max}$) du condensateur.
• Tracer la tangente à la courbe en t = 0.
• Le point d'intersection des ces deux droites a pour abscisse $\tau$ et à cette abscisse, l'ordonnée de la courbe vaut $\textstyle {(1-e^{-1}).E\approx 0,63.E}$

​

Au cours de la charge du condensateur à travers une résistance $R$, sous une tension $E$ du générateur :

• À $t=\tau$, $u=0,63.E$
• À $t=5\tau$, $u=0,99.E$ (Le condensateur est pratiquement chargé)

La constante donne donc un ordre de grandeur de la charge d’un condensateur et nous pourrons retenir qu'au bout de $5\tau$ le condensateur est quasiment chargé. Le temps de charge d’un circuit RC peut donc être contrôlé en modifiant les valeurs de R et C.

Décharge d’un condensateur dans une résistance

$u_{c}(0)=E$

Équation différentielle

D'après la loi d'additivité des tensions, $u_{R}+u_{c}=0$
Or $u_{R}=Ri$ et $i={\frac {dq}{dt}}={\frac {d(Cu_{c})}{dt}}=C{\frac {du_{c}}{dt}}$
On remplace : $RC{\frac {du_{c}}{dt}}+u_{c}=0$
Soit

${\frac {du_{c}}{dt}}+u_{c}{\frac {1}{RC}}=0$

Solution

On a une solution de la forme $u_{c}(t)=Ae^{-kt}+B$

• On injecte dans l'équation différentielle :

${\frac {d(Ae^{-kt}+B)}{dt}}+(Ae^{-kt}+B){\frac {1}{RC}}=0$

$-kAe^{-kt}+Ae^{-kt}{\frac {1}{RC}}+B{\frac {1}{RC}}=0$

$Ae^{-kt}\left(-k+{\frac {1}{RC}}\right)+{\frac {B}{RC}}=0$

Par identification des coefficients, $-k+{\frac {1}{RC}}=0$

d'où $k={\frac {1}{RC}}$, de même on trouve $B=0$

• Les conditions initiales donnent A :

à $t=0,u_{c}(0)=E$ d'où $A=E$

• Solution de l'équation différentielle :

$u(t)=Ee^{-{\frac {t}{RC}}}$
soit

$u_{c}(t)=Ee^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Énergie électrique emmagasinée dans un condensateur

En convention récepteur, la puissance du condensateur s'écrit: $p(t)=u(t)\times i(t)$

Or, $i(t)=C{\frac {du}{dt}}$

On a donc $p(t)=u(t)\times C{\frac {du}{dt}}={\frac {1}{2}}\times C\times {\frac {du^{2}}{dt}}$

Puis ${\frac {dE}{dt}}=p(t)$, on en déduit:

$E(t)={\frac {1}{2}}\times C\times u^{2}$;

L'expression de l'énergie dans un condensateur dépend du temps. Sa formule est la suivante :

$E_{C}={\frac {1}{2}}C\times u_{C}^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{C}}$

Démonstration :

L'énergie électrique emmagasinée lors de la charge sous une tension u est de la forme :

$W_{E}=\int _{0}^{t}P.dt=\int _{0}^{u}d({\frac {1}{2}}\times C\times u^{2})du={\frac {1}{2}}C\times u^{2}$

En effet,

$P=u\times i=u\times C\times {\frac {du}{dt}}={\frac {1}{2}}C{\frac {du^{2}}{dt}}$

Capacité Équivalente

Il est possible de calculer la capacité équivalente à celle de plusieurs condensateurs :

• En série: ${\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}...+{\frac {1}{C_{n}}}={\frac {1}{C_{eq}}}$
• En parallèle : $C_{1}+C_{2}...+C_{n}=C_{eq}$