Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Applications immédiates

Exercice 1-1

Déterminer le domaine de définition des fonctions f définies par :

a)   $f(x)={\frac {1}{x^{2}-3x+2}}$

b)   $f(x)={\frac {x}{2-{\frac {1}{1-{\frac {1}{x}}}}}}$

c)   $f(x)={\sqrt {x^{2}+2x-3}}$

d)   $f(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+2x-3}}}$

e)   $f(x)={\sqrt {\frac {x}{2-{\frac {1}{1-{\frac {1}{x}}}}}}}$

Solution

a)   En factorisant le dénominateur, on obtient :

$f(x)={\frac {1}{x^{2}-3x+2}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)}}$

Un dénominateur ne pouvant pas être nul, le domaine de définition sera :

$D_{f}=\mathbb {R} \backslash \left\{1,2\right\}$

b)   Nous avons ici trois dénominateurs et chacun d'eux ne doit pas être nul :

${\begin{cases}x\neq 0\\1-{\frac {1}{x}}\neq 0\\2-{\frac {1}{1-{\frac {1}{x}}}}\neq 0\end{cases}}$

La résolution successive des trois inéquations nous donne :

${\begin{cases}x\neq 0\\x\neq 1\\x\neq 2\end{cases}}$

Le domaine de définition sera donc :

$D_{f}=\mathbb {R} \backslash \left\{1,\,2,\,3\right\}$

c)   On a :

$f(x)={\sqrt {x^{2}+2x-3}}={\sqrt {(x+3)(x-1)}}$

Les expressions sous les racines doivent être supérieures ou égale à 0. Faisons donc un tableau de signe :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-3&&1&&+\infty \\&&&\\\hline x+3&&-&0&+&&+&\\\hline x-1&&-&&-&0&+&\\\hline (x+3)(x-1)&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}$

Le domaine de définition sera donc :

$D_{f}=]-\infty ;\;-3]\cup [1;\;+\infty [$

d)   L'expression de la question précédente se retrouve en dénominateur. Nous devons donc, du domaine de définition trouvé à la question précédente, supprimer les valeurs qui annule les dénominateurs.

Le domaine de définition sera donc :

$D_{f}=]-\infty ;\;-3[\cup ]1;\;+\infty [$

e)   Nous retrouvons la même expression qu'à la question b), mais sous un radical. Il faut donc, en plus de supprimer les valeurs qui annulent le dénominateur, ne retenir que les valeurs qui rendent l'expression, sous radical, positive. Sur le domaine de définition déterminé en b), nous avons :

$f(x)={\sqrt {\frac {x}{2-{\frac {1}{1-{\frac {1}{x}}}}}}}={\sqrt {\frac {x}{2-{\frac {x}{x-1}}}}}={\sqrt {\frac {x}{\frac {2(x-1)-x}{x-1}}}}={\sqrt {\frac {x}{\frac {x-2}{x-1}}}}={\sqrt {\frac {x(x-1)}{x-2}}}$

Faisons un tableau de signe :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&0&&1&&2&&+\infty \\&&&\\\hline x&&-&0&+&&+&&+&\\\hline x-1&&-&&-&0&+&&+&\\\hline x-2&&-&&-&&-&0&+&\\\hline {\frac {x(x-1)}{x-2}}&&-&0&+&0&-&\|&+&\\\hline \end{array}}$

Le domaine de définition sera donc :

$D_{f}=]0;\;1[\cup ]2;\;+\infty [$

(Les crochets du premier intervalle ]0; 1[ sont ouverts car il ne faut pas oublier d'éliminer les valeurs qui annulaient les dénominateurs dans l'expression de départ.)

 

Exercice 1-2

Étudier la parité des fonctions f définies par :

a)   $f(x)={\frac {x}{x^{3}+x}}$

b)   $f(x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

c)   $f(x)={\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{3}+x}}}$

d)   $f(x)={\frac {\sqrt {x^{2}+x+1}}{\sqrt {x^{2}-x+1}}}$

e)   $f(x)={\sqrt {x^{2}+x+1}}{\sqrt {x^{2}-x+1}}$

Solution

a)   A priori, la fonction est paire comme quotient de deux fonctions impaires. Montrons-le :

$f(-x)={\frac {-x}{(-x)^{3}-x}}={\frac {-x}{-x^{3}-x}}={\frac {x}{x^{3}+x}}=f(x)$

La fonction est bien paire

b)   La racine carrée d'une fonction paire est paire et le quotient d'une fonction impaire par une fonction paire est impaire. Montrons donc que la fonction est impaire :

$f(-x)={\frac {-x}{\sqrt {(-x)^{2}+1}}}={\frac {-x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=-{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=-f(x)$

La fonction est bien impaire.

c)   Pour x = 1, la fonction est définie alors qu'elle n'est pas définie pour x = -1. Le domaine de définition de la fonction n'étant pas symétrique, la fonction f n'est ni paire, ni impaire.

d)  Nous avons :

$f(1)={\frac {\sqrt {1^{2}+1+1}}{\sqrt {1^{2}-1+1}}}={\sqrt {3}}$

alors que nous avons :

$f(-1)={\frac {\sqrt {(-1)^{2}-1+1}}{\sqrt {(-1)^{2}+1+1}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}$

Nous voyons que nous n'avons ni f(-1)=f(1), ni f(-1)=-f(1). La fonction n'est donc ni paire, ni impaire.

e)   Nous avons :

$f(-x)={\sqrt {(-x)^{2}-x+1}}{\sqrt {(-x)^{2}+x+1}}={\sqrt {x^{2}-x+1}}{\sqrt {x^{2}+x+1}}={\sqrt {x^{2}+x+1}}{\sqrt {x^{2}-x+1}}=f(x)$

f est donc une fonction paire.

 

Exercice 1-3

Soit la fonction définie par :

$f(x)=x^{3}-3x^{2}+4$

Démontrer par deux méthodes différentes que cette fonction admet le point de coordonnées (1; 2) comme centre de symétrie.

Solution

Première méthode

On peut faire un changement de repère de façon à ce que le point de coordonnées (1; 2) coïncide avec l'origine du nouveau repère et vérifier ensuite que, dans le nouveau repère, la fonction est impaire.

Les formules de changement de repère seront alors :

${\begin{cases}x=X+1\\y=Y+2\end{cases}}$

En portant dans l'expression :

$y=x^{3}-3x^{2}+4$

nous obtenons :

$Y+2=(X+1)^{3}-3(X+1)^{2}+4$

Après simplification, nous obtenons :

$Y=X^{3}-3X$

qui est bien une fonction impaire.

Le point de coordonnées (1; 2) est donc bien centre de symétrie du tracé de la fonction f.

Deuxième méthode

Nous savons que la courbe représentative de la fonction f admettra pour centre de symétrie un point de coordonnées (a;b) si et seulement si :

$\forall h\in \mathbb {R} \qquad f(a+h)+f(a-h)-2b=0$

Vérifions-le :

${\begin{aligned}\forall h\in \mathbb {R} \qquad f(1+h)+f(1-h)-2\times 2&=(1+h)^{3}-3(1+h)^{2}+4+(1-h)^{3}-3(1-h)^{2}+4-2\times 2\\&=1+3h+3h^{2}+h^{3}-3(1+2h+h^{2})+4+1-3h+3h^{2}-h^{3}-3(1-2h+h^{2})+4-4\\&=1+3h+3h^{2}+h^{3}-3-6h-3h^{2}+4+1-3h+3h^{2}-h^{3}-3+6h-3h^{2}+4-4\\&=0\end{aligned}}$

Le point de coordonnées (1; 2) est donc bien centre de symétrie du tracé de la fonction f.

 

Montrer que le graphe de $f:x\mapsto (x-1)^{3}+2$ possède un centre de symétrie que l'on précisera.

Solution

Le graphe de $f$ est le translaté de celui de $g:x\mapsto x^{3}$ par le vecteur $(1,2)$. Comme $g$ est impaire, son graphe est symétrique par rapport à l'origine $(0,0)$. Le graphe de $f$ est donc symétrique par rapport au translaté $(1,2)$ de cette origine.

 

Soit $f(x)={\frac {x^{2}-5x+7}{x-1}}$. Montrer que le point $(1,-3)$ est centre de symétrie du graphe de $f$.

Solution

Le graphe de $f$ est le translaté de celui de $g:t\mapsto f(1+t)+3$ par le vecteur $(1,-3)$.

$g(t)={\frac {(1+t)^{2}-5(1+t)+7+3t}{t}}=t+{\frac {3}{t}}$ donc $g$ est impaire, et l'on conclut comme dans l'exemple précédent.