Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Fonctions rationnelles (1)

Exercice 2-1

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)=x^{3}+x+4$

Solution

Domaine de définition

Il n'y a ici ni dénominateur, ni racine. Nous avons donc :

$D_{f}=\mathbb {R}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }x^{3}+x+4=\lim _{x\to +\infty }x^{3}=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }x^{3}+x+4=\lim _{x\to -\infty }x^{3}=-\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)=3x^{2}+1$

La dérivée est toujours positive. La fonction sera donc croissante de $-\infty$ à $+\infty$.

Tableau de variations

Études particulières pour préciser le tracé

Si l'on pose y = f(x), l'équation de la courbe s'écrit :

$y=x^{3}+x+4$

Soit Ω, le point de coordonnées (0; 4).

On peut faire un changement de repère dans un repère qui a pour origine Ω en posant :

${\begin{cases}x=X\\y=Y+4\end{cases}}$

Dans le nouveau repère la courbe aura pour équation :

$Y=X^{3}+X$

On obtient une fonction impaire, ce qui montre que le point Ω de coordonnées (0; 4) dans l’ancien repère est centre de symétrie de la courbe.

On remarque aussi que l'abscisse de Ω annule (en changeant de signe) la dérivée seconde de f qui est :

$f''(x)=6x$

Par conséquent Ω est aussi point d'inflexion de la courbe.

Il peut donc être intéressant de calculer la tangente à la courbe en Ω qui est :

$y=f'(0)(x-0)+f(0)$

Qui, tout calcul fait, donne :

$y=x+4$

Tracé de la courbe

 

Exercice 2-2

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)=-x^{4}+4x+2$

Solution

Domaine de définition

Il n'y a ici ni dénominateur, ni racine. Nous avons donc :

$D_{f}=\mathbb {R}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }-x^{4}+4x+2=\lim _{x\to +\infty }-x^{4}=-\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }-x^{4}+4x+2=\lim _{x\to -\infty }-x^{4}=-\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)=-4x^{3}+4=4(1-x^{3})=4(1-x)(x^{2}+x+1)$

x² + x + 1 a un discriminant négatif. La dérivée s'annule donc uniquement pour x = 1. Avant 1, la dérivée est positive, après 1, elle est négative.

Tableau de variations

Études particulières pour préciser le tracé

Si nous calculons la dérivée seconde, nous obtenons :

$f''(x)=-12x^{2}$

La dérivée seconde s'annule pour x = 0, mais avant 0, elle est négative et après 0, elle est aussi négative. Il n'y a donc pas de points d'inflexion.

Calculons l'abscisse des points d'interception de la courbe avec l'axe des abscisses. Il nous faut résoudre :

$f(x)=0$

En faisant un tableau de valeurs de -2 à 3 avec un pas de 1, on obtient :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-2&&-1&&0&&1&&2&&3\\&&&\\\hline f'(x)&-22&&-3&&2&&5&&-6&&-67\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que la courbe coupe l'axe des abscisses entre -1 et 0 et entre 1 et 2.

Améliorons la précision de la racine entre -1 et 0 à l'aide du tableau :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-1&&-0,9&&-0,8&&-0,7&&-0,6&&-0,5&&-0,4&&-0,3&&-0,2&&-0,1&&0\\&&&\\\hline f'(x)&-3&&-2,26&&-1,61&&-1,04&&-0,53&&-0,06&&0,37&&0,79&&1,20&&1,60&&2\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que la courbe coupe l'axe pour une abscisse comprise entre -0,5 et -0,4.

Améliorons aussi la précision de la racine entre 1 et 2 à l'aide du tableau :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&1&&1,1&&1,2&&1,3&&1,4&&1,5&&1,6&&1,7&&1,8&&1,9&&2\\&&&\\\hline f'(x)&5&&4,94&&4,73&&4,34&&3,76&&2,94&&1,85&&0,45&&-1,30&&-3,43&&-6\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que la courbe coupe l'axe pour une abscisse comprise entre 1,7 et 1,8.

Tracé de la courbe

 

Exercice 2-3

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {x+2}{2x-5}}$

Solution

Domaine de définition

Le dénominateur 2x -5 ne doit pas être nul. Par conséquent :

$D_{f}=\mathbb {R} -\left\{{\frac {5}{2}}\right\}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x+2}{2x-5}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{2x}}={\frac {1}{2}}$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x+2}{2x-5}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{2x}}={\frac {1}{2}}$

$\lim _{x\to {\frac {2}{5}}^{+}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {2}{5}}^{+}}{\frac {x+2}{2x-5}}={\frac {\frac {12}{5}}{0^{+}}}=+\infty$

$\lim _{x\to {\frac {2}{5}}^{-}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {2}{5}}^{-}}{\frac {x+2}{2x-5}}={\frac {\frac {12}{5}}{0^{-}}}=-\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)={\frac {1\times (2x-5)-(x+2)\times 2}{(2x-5)^{2}}}={\frac {-9}{(2x-5)^{2}}}$

Tableau de variations

Études des asymptotes

$\lim _{x\to \pm \infty }f(x)={\frac {1}{2}}$

Nous indique que nous avons une asymptote horizontale d'équation $y={\frac {1}{2}}$

$\lim _{x\to {\frac {2}{5}}^{+}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to {\frac {2}{5}}^{-}}f(x)=-\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x={\frac {2}{5}}$

Tracé de la courbe

 

Exercice 2-4

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {2x-3}{3x^{2}-4x}}$

Solution

Domaine de définition

Le dénominateur :

$3x^{2}-4x=x(3x-4)$

ne doit pas être nul. Par conséquent :

$D_{f}=\mathbb {R} -\left\{0,\,{\frac {4}{3}}\right\}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {2x-3}{3x^{2}-4x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {2x}{3x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{3x}}=0$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {2x-3}{3x^{2}-4x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {2x}{3x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {2}{3x}}=0$

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {2x-3}{x(3x-4)}}={\frac {-3}{0^{+}\times (-4)}}=+\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {2x-3}{x(3x-4)}}={\frac {-3}{0^{-}\times (-4)}}=-\infty$

$\lim _{x\to {\frac {4}{3}}^{+}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {4}{3}}^{+}}{\frac {2x-3}{x(3x-4)}}={\frac {\frac {-1}{3}}{{\frac {4}{3}}\times 0^{+}}}=-\infty$

$\lim _{x\to {\frac {4}{3}}^{-}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {4}{3}}^{-}}{\frac {2x-3}{x(3x-4)}}={\frac {\frac {-1}{3}}{{\frac {4}{3}}\times 0^{-}}}=+\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)={\frac {2(3x^{2}-4x)-(2x-3)(6x-4)}{(3x^{2}-4x)^{2}}}={\frac {-6x^{2}+18x-12}{(3x^{2}-4x)^{2}}}={\frac {-6(x2-3x+2)}{(3x^{2}-4x)^{2}}}={\frac {-6(x-1)(x-2)}{(3x^{2}-4x)^{2}}}$

Tableau de variations

Études des asymptotes

$\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=0$

Nous indique que nous avons une asymptote horizontale d'équation $y=0$

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x=0$

$\lim _{x\to {\frac {4}{3}}^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim _{x\to {\frac {4}{3}}^{-}}f(x)=+\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x={\frac {4}{3}}$

Tracé de la courbe