Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Fonctions non rationnelles (1)

Exercice 5-1

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {x^{2}-|x-1|}{|x^{2}+x|-1}}$

Solution

Domaine de définition

Le dénominateur $|x^{2}+x|-1$ ne doit pas être nul. Par conséquent on ne doit pas avoir :

$x^{2}+x=1\Leftrightarrow x^{2}+x-1=0$

ou

$x^{2}+x=-1\Leftrightarrow x^{2}+x+1=0$

Seule la première équation a un discriminant positif et nous donne deux racines réelles à éliminer du domaine de définition. On trouve :

$D_{f}=\mathbb {R} -\left\{{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}},{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right\}$

Restriction du domaine d'étude

Nous allons partager le domaine de définition en plusieurs parties de façon à ce que dans chaque partie, l'intérieur de chaque valeur absolue ait un signe constant, ce qui nous permettra d'éliminer les valeurs absolues.

Les valeurs absolue s'annulent pour x = -1, pour x = 0 et pour x = 1.

Sur l'intervalle $]-\infty ;\;-1]$, nous avons :

$f(x)={\frac {x^{2}-|x-1|}{|x^{2}+x|-1}}={\frac {x^{2}-(-x+1)}{(x^{2}+x)-1}}={\frac {x^{2}+x-1}{x^{2}+x-1}}=1$

Sur l'intervalle $[-1;\;0]$, nous avons :

$f(x)={\frac {x^{2}-|x-1|}{|x^{2}+x|-1}}={\frac {x^{2}-(-x+1)}{(-x^{2}-x)-1}}={\frac {x^{2}+x-1}{-x^{2}-x-1}}$

Sur l'intervalle $[0;\;1]$, nous avons :

$f(x)={\frac {x^{2}-|x-1|}{|x^{2}+x|-1}}={\frac {x^{2}-(-x+1)}{(x^{2}+x)-1}}={\frac {x^{2}+x-1}{x^{2}+x-1}}=1$

Sur l'intervalle $[1;\;+\infty ]$, nous avons :

$f(x)={\frac {x^{2}-|x-1|}{|x^{2}+x|-1}}={\frac {x^{2}-(x-1)}{(x^{2}+x)-1}}={\frac {x^{2}-x+1}{x^{2}+x-1}}$

Nous voyons que l'étude de la fonction ne pose aucune difficulté sur les intervalles $]-\infty ;\;-1]$ et $[0;\;1]$ car la fonction y est constante et égal à 1.

Pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle $[-1;\;0]$, nous prendrons pour expression de f :

$f(x)={\frac {x^{2}+x-1}{-x^{2}-x-1}}$

Pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle $[1;\;+\infty ]$, nous prendrons pour expression de f :

$f(x)={\frac {x^{2}-x+1}{x^{2}+x-1}}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-x+1}{x^{2}+x-1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }1=1$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }1=1$

$\lim _{x\to {\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}^{+}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}^{+}}1=1$

$\lim _{x\to {\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}^{-}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}^{-}}1=1$

$\lim _{x\to {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}^{+}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}^{+}}1=1$

$\lim _{x\to {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}^{-}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}^{-}}1=1$

Calcul de la dérivée

Sur l'intervalle $]-\infty ;\;-1]$ :

$f'(x)=0$

Sur l'intervalle $[-1;\;0]$ :

$f'(x)={\frac {(2x+1)(-x^{2}-x-1)-(x^{2}+x-1)(-2x-1)}{(-x^{2}-x-1)^{2}}}={\frac {-4x-2}{(x^{2}+x+1)^{2}}}={\frac {-2(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}}$

Sur l'intervalle $[0;\;1]$ :

$f'(x)=0$

Sur l'intervalle $[1;\;+\infty ]$ :

$f'(x)={\frac {(2x-1)(x^{2}+x-1)-(x^{2}-x+1)(2x+1)}{(x^{2}+x-1)^{2}}}={\frac {2x^{2}-4x}{(x^{2}+x-1)^{2}}}={\frac {2x(x-2)}{(x^{2}+x-1)^{2}}}$

Tableau de variations

Étude des asymptotes

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=1$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=1$

Nous indique que nous avons une asymptote horizontale d'équation $x=1$

Études particulières pour préciser le tracé

Il nous faut maintenant étudier comment les quatre morceaux de courbe se raccordent. C'est-à-dire en x = -1, en x = 0 et en x = 1. Pour ces trois valeurs de x, nous calculerons la dérivée à gauche et la dérivée à droite pour avoir le coefficient directeur des demies tangentes que nous placerons éventuellement sur la courbe représentative pour guider le tracé.

- En x = -1 :

$\lim _{x\to -1^{-}}f'(x)=\lim _{x\to -1^{-}}0=0$

$\lim _{x\to -1^{+}}f'(x)=\lim _{x\to -1^{+}}{\frac {-2(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}}=2$

- En x = 0 :

$\lim _{x\to 0^{-}}f'(x)=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {-2(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}}=-2$

$\lim _{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim _{x\to 0^{+}}0=0$

- En x = 1 :

$\lim _{x\to 1^{-}}f'(x)=\lim _{x\to 1^{-}}0=0$

$\lim _{x\to 1^{+}}f'(x)=\lim _{x\to 1^{+}}{\frac {2x(x-2)}{(x^{2}+x-1)^{2}}}=-2$

Tracé de la courbe

On remarquera les trous correspondants aux deux abscisses ${\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}$ et ${\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}$ exclues du domaine de définition.

 

Exercice 5-2

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\sqrt {x^{2}-3x+5}}$

Solution

Domaine de définition

Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :

$x^{2}-3x+5\geqslant 0$

Ce qui est toujours le cas puisque ce trinôme du second degré a un discriminant négatif. Par conséquent :

$D_{f}=\mathbb {R}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {x^{2}-3x+5}}=\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {x^{2}}}=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\sqrt {x^{2}-3x+5}}=\lim _{x\to -\infty }{\sqrt {x^{2}}}=+\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)={\frac {2x-3}{2{\sqrt {x^{2}-3x+5}}}}$

Le signe de la dérivée dépend de l'expression 2x - 3.

Tableau de variations

Étude des asymptotes

Sur les fonctions rationnelles, nous avions le choix de la méthode. Pour les fonctions non rationnelles (sauf astuce particulière), nous utiliserons les formules générales :

Recherchons des asymptotes obliques sous la forme y = ax + b

Côté $+\infty$, nous avons :

$a=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x^{2}-3x+5}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x{\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}=1$

${\begin{aligned}b&=\lim _{x\to +\infty }f(x)-ax\\&=\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {x^{2}-3x+5}}-x\\&=\lim _{x\to +\infty }{\frac {({\sqrt {x^{2}-3x+5}}-x)({\sqrt {x^{2}-3x+5}}+x)}{{\sqrt {x^{2}-3x+5}}+x}}\\&=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-3x+5-x^{2}}{{\sqrt {x^{2}\left(1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}\right)}}+x}}\\&=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-3x+5}{x{\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}+x}}\\&=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x\left(-3+{\frac {5}{x}}\right)}{x\left({\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}+1\right)}}\\&=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-3+{\frac {5}{x}}}{{\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}+1}}\\&=-{\frac {3}{2}}\end{aligned}}$

Nous avons donc une asymptote oblique d'équation :

$y=x-{\frac {3}{2}}$

Côté $-\infty$, nous avons :

$a=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {\sqrt {x^{2}-3x+5}}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {|x|{\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {-x{\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }-{\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}=-1$

${\begin{aligned}b&=\lim _{x\to -\infty }f(x)-ax\\&=\lim _{x\to -\infty }{\sqrt {x^{2}-3x+5}}+x\\&=\lim _{x\to -\infty }{\frac {({\sqrt {x^{2}-3x+5}}+x)({\sqrt {x^{2}-3x+5}}-x)}{{\sqrt {x^{2}-3x+5}}-x}}\\&=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}-3x+5-x^{2}}{{\sqrt {x^{2}\left(1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}\right)}}-x}}\\&=\lim _{x\to -\infty }{\frac {-3x+5}{-x{\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}-x}}\\&=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x\left(-3+{\frac {5}{x}}\right)}{-x\left({\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}+1\right)}}\\&=\lim _{x\to -\infty }{\frac {3-{\frac {5}{x}}}{{\sqrt {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}}}+1}}\\&={\frac {3}{2}}\end{aligned}}$

Nous avons donc une asymptote oblique d'équation :

$y=-x+{\frac {3}{2}}$

Tracé de la courbe

 

Exercice 5-3

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)=x{\sqrt {2x-1}}$

Solution

Domaine de définition

Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :

$2x-1\geqslant 0$

C'est-à-dire :

$x\geqslant {\frac {1}{2}}$

$D_{f}=\left[{\frac {1}{2}};\;+\infty \right[$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{+}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{+}}x{\sqrt {2x-1}}=0$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }x{\sqrt {2x-1}}=+\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)=1\times {\sqrt {2x-1}}+x\times {\frac {2}{2{\sqrt {2x-1}}}}={\frac {2x-1}{\sqrt {2x-1}}}+{\frac {x}{\sqrt {2x-1}}}={\frac {3x-1}{\sqrt {2x-1}}}$

Le signe de la dérivée dépend de l'expression 3x - 1 qui est positive sur l'intervalle $\left[{\frac {1}{2}};\;+\infty \right[$.

Tableau de variations

Étude des asymptotes

Aucune asymptote horizontale ou verticale n'apparaît. Recherchons donc une asymptote oblique sous la forme y = ax + b :

$a=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x{\sqrt {2x-1}}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {2x-1}}=+\infty$

Nous n'avons donc pas d'asymptote oblique !

Études particulières pour préciser le tracé

Beaucoup doivent se demander : Mais quelle études particulières doit-on faire, c'est différent pour chaque courbe ?

En fait, c'est en essayant de tracer la courbe que l'on voit ce qu'il est nécessaire de préciser. Par exemple ici, on doit partir de x = 1/2 pour croître et aller vers $+\infty$. Mais comment démarre-t-on ? C'est là que nous voyons que nous avons besoin de la demi tangente en x = 1/2 pour démarrer correctement.

Calculons donc le coefficient directeur de la demie-tengante en x = 1/2 qui est donné par la dérivée à droite :

$\lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{+}}f'(x)=\lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{+}}{\frac {3x-1}{\sqrt {2x-1}}}=\lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{+}}{\frac {\frac {1}{2}}{0^{+}}}=+\infty$

Nous avons donc une demie-tangente verticale en x = 1/2.

En continuant de tracer la courbe, nous voyons que celle-ci s'incurve vers le haut alors que la demie-tangente du départ nous obligeait à l'incurver vers le bas. Il y a donc forcément quelque part un point d'inflexion. Comme l'abscisse d'un point d'inflexion annule la dérivée seconde, nous devons donc commencer par calculer la dérivée seconde. On trouve tout calcul fait :

$f''(x)={\frac {3x-2}{(2x-1){\sqrt {2x-1}}}}$

et nous voyons donc que la dérivée seconde s'annule pour x = 2/3. Le coefficient directeur de la tangente au point d'inflexion est donné par :

$f'\left({\frac {2}{3}}\right)={\sqrt {3}}\simeq 1,732$

Tracé de la courbe

 

Exercice 5-4

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\sqrt {\frac {x^{2}+x}{x^{2}-4}}}$

Solution

Domaine de définition

Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :

${\frac {x^{2}+x}{x^{2}-4}}\geqslant 0$

En factorisant, on obtient :

${\frac {x(x+1)}{(x-2)(x+2)}}\geqslant 0$

Nous ferons donc un tableau de signe :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-2&&-1&&0&&2&&+\infty \\&&&\\\hline x&&-&&-&&-&0&+&&+&\\\hline x+1&&-&&-&0&+&&+&&+&\\\hline x-2&&-&&-&&-&&-&0&+&\\\hline x+2&&-&0&+&&+&&+&&+&\\\hline {\frac {x^{2}+x}{x^{2}-4}}&&+&\|&-&0&+&0&-&\|&+&\\\hline \end{array}}$

$D_{f}=\left]-\infty ;\;-2\right[\cup \left[-1;\;0\right]\cup \left]2;\;+\infty \right[$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\sqrt {\frac {x^{2}+x}{x^{2}-4}}}=\lim _{x\to -\infty }{\sqrt {\frac {x^{2}}{x^{2}}}}=1$

$\lim _{x\to -2^{-}}f(x)={\sqrt {\frac {(-2^{-})^{2}+(-2^{-})}{(-2^{-})^{2}-4}}}={\sqrt {\frac {2}{0^{+}}}}=+\infty$

$\lim _{x\to -1^{+}}f(x)=\lim _{x\to -1^{+}}{\sqrt {\frac {x(x+1)}{x^{2}-4}}}={\sqrt {\frac {(-1^{+})((-1^{+})+1)}{(-1^{+})^{2}-4}}}={\sqrt {\frac {-(0^{+})}{-3}}}=0$

$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}{\sqrt {\frac {x(x+1)}{x^{2}-4}}}={\sqrt {\frac {(0^{-})((0^{-})+1)}{(0^{-})^{2}-4}}}={\sqrt {\frac {0^{-}}{-4}}}=0$

$\lim _{x\to 2^{+}}f(x)={\sqrt {\frac {(2^{+})^{2}+(2^{+})}{(2^{+})^{2}-4}}}={\sqrt {\frac {6}{0^{+}}}}=+\infty$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)==\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {\frac {x^{2}+x}{x^{2}-4}}}=\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {\frac {x^{2}}{x^{2}}}}=1$

Calcul de la dérivée

$f'(x)={\frac {\frac {(2x+1)(x^{2}-4)-2x(x^{2}+x)}{(x^{2}-4)^{2}}}{2{\sqrt {\frac {x^{2}+x}{x^{2}-4}}}}}=-{\frac {x^{2}+8x+4}{2(x^{2}-4)^{2}}}{\sqrt {\frac {x^{2}-4}{x^{2}+x}}}$

Nous voyons que le signe de la dérivée dépend du signe du trinôme -x² - 8x - 4 qui a pour racines :

${\begin{cases}x_{1}=-4-2{\sqrt {3}}\\x_{2}=-4+2{\sqrt {3}}\end{cases}}$

Le coefficient dominant du trinôme étant négatif, la dérivée sera négative en dehors des racines et positive à l'intérieur des racines.

Tableau de variations

Étude des asymptotes

Nous avons :

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=1$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=1$

Nous avons donc une asymptote horizontale d'équation y = 1.

Nous avons :

$\lim _{x\to -2^{-}}f(x)=+\infty$

Nous avons donc une asymptote verticale d'équation x = -2.

Nous avons :

$\lim _{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$

Nous avons donc une asymptote verticale d'équation x = 2.

Études particulières pour préciser le tracé

Nous remarquons que nous avons deux points d'arrêt en -1 et en 0. Calculons donc le coefficient directeur des demi-tangentes en ces deux points.

Nous avons :

$\lim _{x\to -1^{+}}f'(x)=\lim _{x\to -1^{+}}-{\frac {x^{2}+8x+4}{2(x^{2}-4)^{2}}}{\sqrt {\frac {x^{2}-4}{x(x+1)}}}=-{\frac {-3}{18}}{\sqrt {\frac {-3}{-1\times 0^{+}}}}=+\infty$

En -1, nous avons donc une demi-tangente verticale.

D'autre part, nous avons :

$\lim _{x\to 0^{-}}f'(x)=\lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {x^{2}+8x+4}{2(x^{2}-4)^{2}}}{\sqrt {\frac {x^{2}-4}{x(x+1)}}}=-{\frac {4}{32}}{\sqrt {\frac {-4}{0^{-}\times 1}}}=-\infty$

En 0, nous avons donc aussi une demi-tangente verticale.

Tracé de la courbe