Étude et tracé d'une fonction/Application aux fonctions non rationnelles

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Dans le chapitre précédent, nous avons étudié plus en détail les fonctions rationnelles. Dans ce chapitre, nous nous occuperons des fonctions qui ne sont pas rationnelles. Pour nous, ce sera principalement les fonctions dont l'écriture possède une ou plusieurs valeurs absolues ou une ou plusieurs racines carrées. Les valeurs absolues vont nous donner l'occasion d'étudier les points anguleux et les racines carrées les tangentes verticales. Bref, il nous reste encore du boulot !

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Fonction avec valeurs absolues

Nous rappelons que la valeur absolue d'un nombre positif est lui-même et la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé. Si cela n'est plus très frais dans votre continuum mental, vous pouvez jeter un coup d’œil sur la leçon : Valeur absolue. En fait, si l'on a une fonction contenant des valeurs absolues à étudier, il nous faudra séparer le domaine de définition en plusieurs intervalles tels que, sur chaque intervalle, le signe des expressions à l'intérieur des valeurs absolues soit constant, de façon que l'on puisse se débarrasser des valeurs absolues en gardant ou en changeant les signes à l'intérieur de la valeur absolue selon que l'intérieur de la valeur absolue soit respectivement positif ou négatif sur l'intervalle considéré. Vous n'avez rien compris, la dernière phrase était trop longue, prenons donc un exemple :

Exemple 1 Soit la fonction f définie par : $f(x)={\frac {|x-3|-2}{1+|x-1|}}$ Le domaine de définition de cette fonction est $\mathbb {R}$ puisque le dénominateur ne peut pas s'annuler car il est égal à la somme de 1 et d'une valeur absolue (les valeurs absolues sont toujours positives). Nous voyons que l'intérieur de la valeur absolue du numérateur change de signe pour x = 3. Nous voyons que l'intérieur de la valeur absolue du dénominateur change de signe pour x = 1. Nous séparerons donc le domaine d'étude en trois intervalles : Sur l'intervalle $]-\infty ;1]$ : L'intérieur de la valeur absolue du numérateur est négatif et on a donc $|x-3|=-x+3$. L'intérieur de la valeur absolue du dénominateur est négatif et on a donc $|x-1|=-x+1$. On a donc sur cet intervalle : $f(x)={\frac {|x-3|-2}{1+|x-1|}}={\frac {-x+3-2}{1-x+1}}={\frac {1-x}{2-x}}$ Sur l'intervalle $[1;3]$ : L'intérieur de la valeur absolue du numérateur est négatif et on a donc $|x-3|=-x+3$. L'intérieur de la valeur absolue du dénominateur est positif et on a donc $|x-1|=x-1$. On a donc sur cet intervalle : $f(x)={\frac {|x-3|-2}{1+|x-1|}}={\frac {-x+3-2}{1+x-1}}={\frac {1-x}{x}}$ Sur l'intervalle $[3;+\infty [$ : L'intérieur de la valeur absolue du numérateur est positif et on a donc $|x-3|=x-3$. L'intérieur de la valeur absolue du dénominateur est positif et on a donc $|x-1|=x-1$. On a donc sur cet intervalle : $f(x)={\frac {|x-3|-2}{1+|x-1|}}={\frac {x-3-2}{1+x-1}}={\frac {x-5}{x}}$ Nous avons réussi à nous débarrasser des valeurs absolues. Le prix à payer est que nous avons maintenant trois fonctions à étudier sur trois intervalles différents et en plus, nous devrons étudier comment ces trois courbes se raccordent en x = 1 et en x = 3.

Points anguleux

Nous avons vu dans le paragraphe précédent qu'une fonction peut être définie différemment sur différents intervalles de son domaine de définition. Nous pouvons alors avoir des points de raccordement et rien ne dit que les deux branches de la courbe de part et d'autre des points de raccordement vont se trouver parfaitement alignées. Sur la figure de droite, nous voyons une courbe qui est la représentation d'une fonction croissante pour des valeurs inférieures à x₀ et qui devient subitement décroissante pour des valeurs supérieures à x₀. Nous dirons que nous avons, en A, un point anguleux.

Pour être plus précis, nous pouvons étudier la limite :

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

qui, si elle existe, donne la valeur de la dérivée en x₀. Or, si l'on essaye de calculer cette limite, on s'aperçoit que selon que l'on fait tendre h vers 0 par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures, la limite est différente.

Nous poserons donc les deux définitions suivantes :

Dérivée à droite

Soient f une fonction et x₀ un point de son ensemble de définition.

On dira que f admet une dérivée à droite en x₀ si la limite :

$\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

existe.

La valeur de la limite ci-dessus sera alors le nombre dérivé à droite en x₀.

Dérivée à gauche

Soient f une fonction et x₀ un point de son ensemble de définition.

On dira que f admet une dérivée à gauche en x₀ si la limite :

$\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

existe.

La valeur de la limite ci-dessus sera alors le nombre dérivé à gauche en x₀.

Si le nombre dérivé à droite en x₀ est égal au nombre dérivé à gauche en x₀, alors la fonction est dérivable en x₀.

Si le nombre dérivé à droite en x₀ est différent du nombre dérivé à gauche en x₀, alors la fonction admet un point anguleux en x₀.

Demi-tangentes

Supposons que nous ayons un point anguleux en x₀. Si nous souhaitons représenter ce point anguleux de façon satisfaisante, nous pouvons représenter ce que l'on appelle une demi-tangente de chaque côté du point anguleux (voir le schéma à droite, les deux demi-tangentes sont représentées en bleu). Nous savons que le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe où la fonction est dérivable est donné par la valeur de la dérivée en ce point. Si nous avons un point anguleux, la fonction représentée ne sera pas dérivable, mais pourra tout de même admettre une dérivée à droite et une dérivée à gauche. Les deux demi-tangentes de part et d'autre du point anguleux auront pour coefficient directeur respectivement les valeurs de la dérivée à droite et de la dérivée à gauche.

Une des particularités de considérer la limite quand h tend vers 0 par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures dans l'expression de la dérivée est que l'on peut parfois obtenir des limites égales à $-\infty$ ou $+\infty$. Dans ce cas, nous aurons des demi-tangentes verticales.

• Si la dérivée à gauche tend vers $+\infty$, cela signifie que pour la valeur considérée, la fonction est croissante et sa courbe a une demi-tangente verticale que l'on oriente vers le bas.
• Si la dérivée à gauche tend vers $-\infty$, cela signifie que pour la valeur considérée, la fonction est décroissante sa courbe a une demi-tangente verticale que l'on oriente vers le haut.
• Si la dérivée à droite tend vers $+\infty$, cela signifie que pour la valeur considérée, la fonction est croissante et sa courbe a une demi-tangente verticale que l'on oriente vers le haut.
• Si la dérivée à droite tend vers $-\infty$, cela signifie que pour la valeur considérée, la fonction est décroissante et sa courbe a une demi-tangente verticale que l'on oriente vers le bas.

Étude d'un exemple

Pour synthétiser un peu ce que nous avons dit dans le début de ce chapitre et pour apprendre aussi quelques détails supplémentaires, nous nous proposons, dans ce paragraphe de faire l'étude complète d'une fonction :

Soit donc à étudier la fonction $f$ définie par :

$f(x)=|x|{\sqrt {\frac {1-x}{1+3x}}}$

Domaine de définition

Il faut que ce qui est sous la racine soit positif. Nous devons donc avoir :

${\frac {1-x}{1+3x}}\geqslant 0$

Mais il ne faut pas oublier que les dénominateurs ne doivent pas être nuls. Nous devons donc aussi avoir :

$1+3x\neq 0$

Nous supposons, du moins nous espérons, que trouver les valeurs vérifiant les deux conditions précédentes ne vous pose pas de problème. Nous pouvons, par exemple, faire un tableau de valeurs :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&{\frac {-1}{3}}&&1&&+\infty \\&&&\\\hline {\textrm {1-x}}&&+&&+&0&-&\\\hline {\textrm {1+3x}}&&-&0&+&&+&\\\hline {\frac {1-x}{1+3x}}&&-&\|&+&0&-&\\\hline \end{array}}$

Nous en déduisons le domaine de définition de f :

$D_{f}=\left]-{\frac {1}{3}};\;1\right]$

Limites aux bornes du domaine de définition

En fait, il n'y a ici qu'une limite à calculer puisque le domaine de définition est fermé à droite avec f(1) = 0. Nous calculerons donc seulement :

$\lim _{x\to -{\frac {1}{3}}^{+}}f(x)=\lim _{x\to -{\frac {1}{3}}^{+}}|x|{\sqrt {\frac {1-x}{1+3x}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {\frac {4}{3}}{0^{+}}}}=+\infty$

Nous en déduisons déjà que nous avons une asymptote verticale d'équation $x=-{\frac {1}{3}}$.

Calcul de la dérivée

Comme nous avons une valeur absolue dans l'expression de f, la façon classique de procéder serait de séparer le domaine de définition en plusieurs intervalles de façon à ce que l'intérieur de la valeur absolue ait un signe constant sur chaque intervalle et pouvoir ainsi supprimer la valeur absolue. Mais ici, il se trouve qu'il y a une méthode astucieuse nous permettant de gagner du temps et nous allons donc en profiter.

En effet, nous remarquons que f s'exprime comme le produit d'une valeur absolue par une racine carrée et nous pouvons simplement faire disparaître les deux en élevant f au carré :

$f^{2}(x)=x^{2}{\frac {1-x}{1+3x}}={\frac {x^{2}-x^{3}}{1+3x}}$

Et en dérivant les deux membres sous cette forme, nous obtenons :

$2f'(x)f(x)={\frac {(2x-3x^{2})(1+3x)-3(x^{2}-x^{3})}{(1+3x)^{2}}}={\frac {2x(1-3x^{2})}{(1+3x)^{2}}}$

D’où l'on peut tirer la dérivée sous la forme :

$f'(x)={\frac {x(1-3x^{2})}{(1+3x)^{2}f(x)}}={\frac {x(1+x{\sqrt {3}})(1-x{\sqrt {3}})}{(1+3x)^{2}f(x)}}$

Ici, nous devons nous méfier car nous avons f(x) dans le dénominateur. En effet, nous voyons que f s'annule pour 0 et pour 1 qui appartiennent bien au domaine de définition de f, mais qui deviennent des valeurs interdites pour le calcul de la dérivée. Nous exprimerons cela en disant que le domaine de dérivabilité de f est différent du domaine de définition de f. Le domaine de dérivabilité de f sera ici :

$D_{f'}=\left]-{\frac {1}{3}};\;0\right[\cup \left]0;\;1\right[$

Tableau de variations

Nous allons maintenant réunir tous les éléments dans un tableau de variations :

avec :

$\alpha =f\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)\approx 0{,}227$.

Dans ce tableau nous avons fait figurer :

• les valeurs importantes prises par la variable ;
• des doubles barres et des hachures là où la fonction ou la dérivée n'est pas définie ;
• le signe de la dérivée dans chaque intervalle ;
• des flèches allant des limites ou des valeurs de la fonction vers des limites ou des valeurs de la fonction.

Études particulières

Dans le tableau de variation, nous remarquons que pour x = 0, la fonction est définie mais pas sa dérivée.

Calculons donc la dérivée à droite de 0 :

$\lim _{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {x(1+x{\sqrt {3}})(1-x{\sqrt {3}})}{(1+3x)^{2}f(x)}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {(1+x{\sqrt {3}})(1-x{\sqrt {3}})}{(1+3x)^{2}{\sqrt {\frac {1-x}{1+3x}}}}}=1$

Nous en déduisons que, à droite de 0, la courbe admet une demi-tangente de coefficient directeur 1.

Calculons aussi la dérivée à gauche de 0 :

$\lim _{x\to 0^{-}}f'(x)=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {x(1+x{\sqrt {3}})(1-x{\sqrt {3}})}{(1+3x)^{2}f(x)}}=\lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {(1+x{\sqrt {3}})(1-x{\sqrt {3}})}{(1+3x)^{2}{\sqrt {\frac {1-x}{1+3x}}}}}=-1$

Nous en déduisons que, à gauche de 0, la courbe admet une demi-tangente de coefficient directeur -1.

Nous voyons aussi que la dérivée n'est pas définie en 1 bien que ce point appartienne au domaine de définition.

Calculons donc la dérivée à gauche de 1 :

$\lim _{x\to 1^{-}}f'(x)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x(1+x{\sqrt {3}})(1-x{\sqrt {3}})}{(1+3x)^{2}f(x)}}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {(1+x{\sqrt {3}})(1-x{\sqrt {3}})}{(1+3x)^{2}{\sqrt {\frac {1-x}{1+3x}}}}}={\frac {(1+{\sqrt {3}})(1-{\sqrt {3}})}{(1+3)^{2}{\sqrt {\frac {0^{+}}{1+3}}}}}=-\infty$

Nous en déduisons que, à gauche de 1, la courbe admet une demi-tangente verticale que nous orienterons vers le haut.

Tracé de la courbe

On commence par tracer le repère. On place le maximum, de coordonnées environ (0,577 ; 0,227). On place l'asymptote verticale d'équation $x=-{\frac {1}{3}}$. On place ensuite les trois demi-tangentes.

En s'aidant de tous les éléments que l'on a mis, on trace ensuite la courbe et l'on obtient :