Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Fonctions non rationnelles (3)
Exercice 7-1
modifierÉtudiez et tracez la fonction suivante :
Domaine de définition
Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :
qui se met sous la forme :
Faisons un tableau de signes :
On en déduit :
Restriction du domaine d'étude
On a :
La fonction est donc paire et, par conséquent, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Nous étudierons donc f seulement pour les valeurs positives de x et, pour les valeurs négatives de x, nous en déduirons les propriétés de f et son tracé par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
Limites aux bornes du domaine de définition
Calcul de la dérivée
Tableau de variations
Étude des asymptotes
nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation . Autrement dit, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe.
Études particulières pour préciser le tracé
Nous avons :
Nous étudierons donc la demie-tangente en x = 1.
Calculons donc le coefficient directeur de la demie-tangente en x = 1 qui est donné par la dérivée à droite :
Nous avons donc une demie-tangente verticale en x = 1.
Tracé de la courbe
Exercice 7-2
modifierÉtudiez et tracez la fonction suivante :
Domaine de définition
Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :
qui se met sous la forme :
Faisons un tableau de signes :
Comme, de plus, les dénominateurs ne doivent pas être nuls, on en déduit :
Restriction du domaine d'étude
On a :
La fonction est donc paire et, par conséquent, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Nous étudierons donc f seulement pour les valeurs positives de x et, pour les valeurs négatives de x, nous en déduirons les propriétés de f et son tracé par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
Limites aux bornes du domaine de définition
Calcul de la dérivée
Où l'on voit que tous les facteurs sont positifs pour x supérieur à 1.
Tableau de variations
Étude des asymptotes
nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = 1.
nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation y = 1.
Tracé de la courbe
Exercice 7-3
modifierÉtudiez et tracez la fonction suivante :
Domaine de définition
Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :
Les dénominateurs ne doivent pas être nuls :
Il résulte de ces deux conditions que :
Limites aux bornes du domaine de définition
Calcul de la dérivée
Pour x positif, le numérateur est visiblement négatif. le signe de la dérivée est donc l'opposé du signe de (x - 1) se trouvant au dénominateur.
Tableau de variations
Étude des asymptotes
nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = 1.
nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation y = 0. Autrement dit, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe.
Études particulières pour préciser le tracé
Nous avons :
Nous étudierons donc la demie-tangente en x = 0.
Calculons donc le coefficient directeur de la demie-tangente en x = 0 qui est donné par la dérivée à droite :
Nous avons donc une demie-tangente verticale en x = 0. La courbe démarre donc tangentiellement à l'axe des ordonnées.
(Pour les plus courageux, vous pouvez aussi vérifier, à titre d'exercice, que l'on a un point d'inflexion d'abscisse . Voir l'exercice 9-2).
Tracé de la courbe