Étude et tracé d'une fonction/Plan d'étude d'une fonction

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Après les deux premiers chapitres que l'on peut considérer comme préparatoires, nous allons rentrer dans le vif du sujet. Une fonction nous est donnée et nous devons la tracer. Pour fixer les idées, nous commencerons par définir un plan d'étude de la fonction. Nous verrons ou reverrons plus ou moins brièvement ce que nous devons faire à chaque étape et nous finirons, à titre d'exemple, par l'étude complète d'une fonction.

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Plan d'étude

Dans le cadre de cette leçon, lorsque nous devrons faire l'étude d'une fonction dans le but de la tracer, nous suivrons le plan suivant :

• Détermination du domaine de définition.
• Restriction du domaine d'étude.
• Calcul des limites aux bornes du domaine de définition.
• Calcul de la dérivée.
• Étude du signe de la dérivée.
• Tableau de variation.
• Étude du signe de la fonction
• Recherche d'asymptotes.
• Études particulières pouvant faciliter le tracé.
• Tracé de la courbe.

Nous allons reprendre ci-dessous chaque point de ce plan d'étude :

Détermination du domaine de définition.

Nous rappelons qu'une division par 0 est interdite et que les nombres négatifs n'ont pas de racines dans l'ensemble des nombres réels.

Le domaine de définition sera donc le sous-ensemble des nombres réels pour lesquels ces deux opérations interdites n'auront pas l'occasion de se produire.

Bien sûr, si dans l’avenir d'autres opérations interdites venaient à apparaître dans vos études ultérieures, il faudra en tenir compte dans la détermination du domaine de définition.

Restriction du domaine d'étude

On étudiera la parité de la fonction.

Si la fonction est paire, on étudiera la courbe pour les valeurs positives de la variable, on tracera sa courbe représentative pour les valeurs positives de la variable et l'on en déduira le reste du tracé par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Si la fonction est impaire, on étudiera la courbe pour les valeurs positives de la variable, on tracera sa courbe représentative pour les valeurs positives de la variable et l'on en déduira le reste du tracé par symétrie par rapport à l'origine du repère.

Il existe un autre cas de restriction du domaine d'étude, c'est quand la fonction est périodique.

Une fonction sera dite périodique de période T si elle vérifie la relation :

$\forall x\in \mathbb {R} \qquad f(x+T)=f(x)$

Si nous n'envisageons pas ce cas de façon approfondie dans cette leçon, c'est parce que son étude est plutôt du ressort de la leçon : Fonctions circulaires.

Calcul des limites aux bornes du domaine de définition

On veillera à ne pas oublier une borne du domaine de définition. Si la fonction n'est pas définie en un point, penser à bien étudier les deux limites en faisant tendre x par valeurs inférieures et par valeurs supérieures.

Nous remarquons que nous avons prévu cette étape avant le calcul de la dérivée. C'est parce que de longues années de pratique ont montré que si l’on calcule la dérivée de la fonction avant de calculer les limites aux bornes du domaine de définition, un pourcentage non négligeable d'élèves étourdis se trompent et prennent l'expression de la dérivée pour calculer les limites aux bornes du domaine de définition.

Calcul de la dérivée

Le calcul de la dérivée est une étape importante dans l'étude d'une fonction. Il est, par conséquent, très important de ne pas se tromper à ce niveau. Prenez donc le temps de faire ce calcul correctement. Ne vous pressez pas, ouvrez bien les yeux. Si vous regardez des grands mathématiciens ou des grands physiciens faire des calculs, vous serez étonnés de la lenteur avec laquelle ils effectuent leurs calculs. C'est parce qu’ils savent qu'il vaut mieux passer un peu plus de temps à faire des calculs que de se presser, commettre une erreur et passer un temps énorme à rechercher l'erreur.

Une fois le calcul achevé, vous devez présenter la dérivée sous la forme la plus factorisée possible pour pouvoir en étudier le signe. Si vous ne pouvez pas factoriser la dérivée de façon à ce que l'on puisse étudier le signe de chaque facteur, méfiez-vous ! Il y a peut-être une erreur dans le calcul.

Étude du signe de la dérivée

Vous disposez de votre dérivée. Elle est factorisée au maximum. Vous devez alors étudier le signe de chaque facteur et en déduire le signe de la dérivée en appliquant la règle des signes. Par commodité, le mieux est de présenter les résultats dans un tableau de signe. Veillez à bien mettre les valeurs qui annulent les différents facteurs dans le bon ordre. C'est rare que l'on se trompe à ce niveau là, mais le jour où cela arrive (généralement le jour de l'examen, selon la loi de Murphy), il est généralement très dur de repérer l'erreur et l'on en arrive généralement à la conclusion que notre copie est ensorcelée.

Quelquefois, il y a dans votre dérivée une expression dont le signe n'est pas évident. Souvent l'étude du signe de cette expression a fait l'objet d'une question précédente. Dites-vous que les questions précédentes recèlent souvent de renseignements utiles pour la suite. Si l’on vous fait étudiez le signe d'une expression, c'est souvent parce que cette expression va se retrouver dans une dérivée.

Tableau de variations

Arrivé à ce niveau-là, nous disposons de tout ce qui est nécessaire pour construire notre tableau de variations. Mettez bien des doubles barres sous les valeurs où la fonction n'est pas définie. Hachurez les zones correspondant à des intervalles où la fonction n'est pas définie. Mettez des flèches qui montent dans les intervalles où la dérivée est positive et des flèches qui descendent dans les intervalles où la dérivée est négative. Mettez toutes les limites, aux bornes du domaine de définition, que vous avez calculées.

Une fois le tableau de variations achevé, nous arrivons à un point clé de notre étude et là, il y a quelque chose d’extrêmement important à faire. Et, bien sûr, quand il y a quelque chose d’extrêmement important à faire, beaucoup d'élèves ne le font pas ! Quelle est donc cette chose d’extrêmement importante à faire ? C'est, tout simplement, de vérifier que le tableau de variations que l'on a obtenu est cohérent. Cela ne prend que quelques secondes, mais l'on peut, grâce à cela, détecter des erreurs que l'on aurait commises dans les calculs effectués jusqu'alors.

Nous devons vérifier que, si l'on a une flèche qui monte, elle va bien d'une valeur inférieure à une valeur supérieure. Si l'on a une flèche qui descend, elle va d'une valeur supérieure à une valeur inférieure. Nous n'avons jamais vu (en dehors des copies d'élèves négligents) une fonction croître de $+\infty$ à $-\infty$.

Vous vérifiez donc la cohérence de votre tableau de variation et vous constatez qu'il y a une ou plusieurs choses qui ne tournent pas rond. Vous avez alors le choix entre deux possibilités : soit vous paniquez, soit vous gardez votre calme. Si vous paniquez en vous disant que vous êtes maudit, il y a peu de chance que vous redressiez la situation à temps pour éviter la mauvaise note qui plane sur vous. Si vous gardez votre calme, vous pouvez encore vous en sortir en repérant rapidement l'erreur. Réfléchissez, s'il n'y a qu'une erreur dans votre tableau, par exemple une flèche qui monte vers $-\infty$, recalculez la limite concernée, elle est probablement fausse. S'il semble y avoir plusieurs erreurs de limites, il y a plus de risques que l'erreur vienne du calcul de la dérivée plutôt que d'avoir fait plusieurs erreurs dans le calcul des limites. Recalculez donc votre dérivée sans regarder vos précédents calculs. Très souvent, en cherchant une erreur dans des calculs que l’on a faits, nous n'arrivons pas à la trouver. Il est plus sûr de recommencer les calculs en espérant ne pas faire la même erreur.

Un autre petit point qui peut avoir son importance dans le tableau de variation, c'est de mettre f'(x) en début de la ligne ou l'on va mettre le signe de la dérivée et de mettre seulement f en début de la ligne où l'on met les flèches indiquant le sens de variation. Pourquoi ? Lorsque l'on étudie le signe pris par la dérivée, on étudie le signe de la valeur prise par la fonction dérivée en x, c'est-à-dire par f'(x). Lorsque l'on indique si la fonction croît ou décroit, il s'agit de la fonction f qui croit ou décroit et pas f(x) qui représente un réel fixé. On a déjà vu des enseignants (dans certains lycées d'élites) enlever un point si ceci n'était pas respecté.

Recherche d'asymptotes

Nous avons déjà bien discuté du calcul des asymptotes dans les chapitres précédent. Ici, nous soulignerons que les asymptotes verticales correspondent généralement aux doubles barres que l'on a mis dans le tableau de variation et les asymptotes horizontales se repèrent dans le tableau de variation par les valeurs finies que l'on voit apparaître quand x tend vers $-\infty$ ou $+\infty$. Les asymptotes obliques, quant à elles, ne sont pas visibles dans le tableau de variation.

Études particulières pouvant faciliter le tracé

L'étude est en principe ici quasiment finie et ce paragraphe est un fourre-tout pour les diverses études qui nous reste à faire pour améliorer le tracé de la courbe. Pour mieux se rendre compte des éventuelles études qui peuvent être nécessaires à ce niveau, il est conseillé de commencer à tracer ce que l'on appelle l'« allure de la courbe ». C'est un premier tracé que l'on obtient après avoir mis les maximums et les minimums ainsi que les différentes asymptotes. Et là, en essayant de faire un premier tracé approximatif, nous nous rendons compte de ce qui nous manque pour améliorer celui-ci. Ce sera, peut-être le calcul d'une tangente. Nous rappelons au passage que l'équation d'une tangente en un point x₀ est donnée par la formule :

$y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$

S'il y a des points anguleux, nous aurons à préciser les demi-tangentes pour bien faire apparaître les angles apparaissant dans le tracé. Les points anguleux apparaissent, la plupart du temps, lorsqu'il y a des valeurs absolus dans l'expression de la fonction. Dans ce cas, les points anguleux correspondent aux valeurs de x qui annulent l'intérieur des valeurs absolues (nous étudierons ceux-ci dans le chapitre sur les fonctions non rationnelles).

Nous ferons ici, peut-être, un tableau de valeurs pour préciser par quels points passe la courbe. Nous attirons ici l'attention du lecteur sur un fait déplorable largement constaté dans la pratique. Certains élèves font un tableau de valeurs avec un très grand nombre de valeurs. Et l'on voit, sur la copie, une courbe avec une multitude de petites croix qui semble avoir déterminé son tracé. Le but de l'étude d'une fonction et de son tracé est de vérifier que l'élève a bien assimilé certaines notions importantes du programme et aucun professeur corrigeant une copie n'est là avec une loupe pour vérifier que la courbe passe exactement, au millimètre près, par tous les points par lesquels elle doit passer. Le fait de prendre un très grand nombre de valeurs, en dehors de faire perdre du temps, peut amener le correcteur à douter de la bonne compréhension de l'élève. On se rend compte, en effet, que beaucoup d'élèves commencent par tracer la courbe point par point et ne placent les asymptotes ou les différents éléments destinés à guider le tracé qu'après avoir fini de tracer la courbe.

Un tableau de valeurs ne devra comporter que très peu de valeurs. Seulement les valeurs où l'on aura constaté qu'il y avait un gros doute lorsque l'on a tracé l'allure de la courbe. Les valeurs du tableau de valeurs sont donc des valeurs très judicieusement choisies, et pas des valeurs prises au hasard ou des valeurs automatiquement données par la calculatrice à laquelle on aura demandé un tableau de valeurs avec un pas de 1 ou de 0,5.

Tracé de la courbe

Voila, nous avons atteint le but de notre étude. Il ne nous reste plus qu'à faire un joli dessin. Nous commencerons donc par tracer le repère en n'oubliant pas de mettre les unités sur chaque axe. Le mieux est de commencer par faire un rapide croquis au brouillon (l'allure de la courbe) pour ne pas se tromper dans les unités (si celle-ci ne sont pas précisées dans l'énoncé). Nous mettrons ensuite soigneusement les différentes asymptotes, les maximums locaux et les minimums locaux, les éventuelles tangentes, les éventuels points anguleux avec leurs demies-tangentes. Bref, tous les éléments dont nous disposons pour nous aider à tracer la courbe et c'est seulement après avoir mis tous ces éléments (pas avant) que l'on tracera la courbe proprement dite.

Ne vous inquiétez pas trop pour la précision de votre tracé. Les enseignants vérifient généralement d'un coup d’œil si l'élève semble avoir compris et ne s'inquiètent pas de la précision du tracé (surtout s'ils ont un grand nombre de copies à corriger).

Étude d'un exemple

Pour synthétiser un peu ce que nous avons dit dans le début de ce chapitre, nous nous proposons, dans ce paragraphe, de faire l'étude complète d'une fonction. Bien sûr, nous allons commencer par une étude simple et toutes les étapes que nous avons prévues ci-dessus ne seront pas forcément présentes. Mais rassurez-vous, nous ferons une étude complète d'une fonction à la fin de chacun des chapitres qui suivent de façon à voir un maximum de choses. L'étude qui suit concerne une fonction qui n'a pas d'asymptotes et qui est définie sur la totalité des nombres réels. :

Soit donc à étudier la fonction f définie par :

$f(x)=x^{3}-3x-1$

Domaine de définition

Il n'y a ici ni dénominateur, ni racine. Nous avons donc :

$D_{f}=\mathbb {R}$=]-∞;+∞[

Limites aux bornes du domaine de définition

Nous voyons qu'il y a deux limites à calculer, en $+\infty$ et en $-\infty$ :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }x^{3}-3x-1=\lim _{x\to +\infty }x^{3}=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }x^{3}-3x-1=\lim _{x\to -\infty }x^{3}=-\infty$

Calcul de la dérivée

Il s'agit simplement d'un polynôme, donc :

${\textstyle f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1)=3(x+1)(x-1)}$

Pour étudier le signe de la dérivée, nous pouvons faire un tableau de signes :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&1&&+\infty \\&&&\\\hline {\textrm {x+1}}&&-&0&+&&+&\\\hline {\textrm {x-1}}&&-&&-&0&+&\\\hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}$

Tableau de variations

Nous allons maintenant réunir tous les éléments essentiels dans un tableau de variations :

Dans ce tableau, nous avons fait figurer :

• Les valeurs importantes prises par la variable.
• Le signe de la dérivée dans chaque intervalle.
• Des flèches allant des limites ou des valeurs de la fonction vers des limites ou des valeurs de la fonction.

Tracé de la courbe

On commence par tracer le repère. On place le maximum local de coordonnées (-1;1) et le minimum local de coordonnées (1;-3). On a aussi tracé des tangentes horizontales (en bleu) sur le maximum et le minimum pour bien guider la tracé.

En s'aidant de tous les éléments que l'on a mis, on trace ensuite la courbe et l'on obtient :