Étude et tracé d'une fonction/Application aux fonctions rationnelles

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Ce chapitre est plus particulièrement consacré à l'étude des fonctions rationnelles. Certaines notions comme le changement de repère ou l'étude de certaines symétries ne sont pas exclusivement réservées aux fonctions rationnelles mais sont plus faciles à étudier dans ce cadre et si elles se rencontrent dans le cadre d'un examen, elles le seront, le plus souvent, dans le cadre d'une fonction rationnelle.

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Toutes les notions étudiées dans ce chapitre ne sont pas forcément au programme, chaque année, dans tous les pays francophones. L'étudiant peut éventuellement sauter ces notions si celles-ci ne sont pas dans son programme, mais nous lui conseillons toutefois de les survoler à titre d'exercice.

Définition d'une fonction rationnelle

Nous rappelons, dans ce paragraphe, la définition d'une fonction rationnelle :

Définition

Une fonction rationnelle est une fonction qui se présente sous forme de quotient de deux polynômes.

Si P(x) et Q(x) sont deux polynômes, alors :

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

est une fonction rationnelle.

Étude des asymptotes

Soit f une fonction rationnelle définie par :

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

P(x) et Q(x) étant deux polynômes.

Nous supposerons, dans ce paragraphe qu'il n'y a pas de racines communes entre le numérateur et le dénominateur de la fraction rationnelle.

Asymptote verticale

Supposons que a est une racine du dénominateur Q. Si l'on fait tendre x vers a, alors le dénominateur tendra vers 0 et, comme a n'est pas racine du numérateur, la fonction rationnelle tendra vers $+\infty$ ou $-\infty$. Nous aurons donc une asymptote verticale d'équation x = a.

Nous retiendrons :

Propriété

Si f est une fonction rationnelle définie par :

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

et si :

$a_{1},\,a_{2},\cdots ,a_{n}$

Sont les n racines distinctes du polynôme Q, alors le tracé de la courbe représentative de la fonction f admet n asymptotes verticales d'équations respectives :

• x = a₁
• x = a₂
• …
• x = a_n

Asymptotes horizontales

Nous aurons une asymptote horizontale si la limite de f en $+\infty$ ou en $-\infty$ est un nombre fini. Cela ne peut se produire que si le degré du numérateur de la fraction rationnelle est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Nous pouvons toutefois envisager deux cas selon que les degrés sont égaux ou différents.

Premier cas : Les degrés sont égaux

Nous savons que lorsque l'on fait tendre x vers $+\infty$ ou $-\infty$ , une fraction rationnelle tend vers le rapport de ses termes de plus haut degré et par conséquent vers le rapport de ses coefficients dominants.

Propriété

Soit f une fonction rationnelle définie par :

$f(x)={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots }{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots }}$

Alors la courbe représentative de f admet une asymptote horizontale d'équation :

$y={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$

Deuxième cas : Les degrés sont différents

Toujours du fait que la limite en $+\infty$ ou $-\infty$ d'une fraction rationnelle est la limite du rapport de ses termes de plus haut degré, nous avons de façon immédiate :

Propriété

Si f est définie par une fraction rationnelle dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur, alors la courbe représentative de f admet une asymptote horizontale d'équation :

$y=0$

On peut dire aussi qu'elle admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.

Asymptotes obliques

Nous avons vu que, si l'on a une asymptote oblique d'équation y = ax + b, alors le coefficient directeur a est donné par :

$a=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}$

Nous aurons donc :

Propriété

Si f est définie par une fraction rationnelle dont le degré du numérateur surpasse d'une unité le degré du dénominateur, alors la courbe représentative de f admet une asymptote oblique.

Il y a principalement trois façons de déterminer cette asymptote oblique :

Première méthode : Utilisation des formules déjà établies

On utilise les formules établies dans les chapitres précédents.

Si la courbe représentative admet une asymptote oblique d'équation y = ax + b, alors :

$a=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}$

$b=\lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-ax)$

Deuxième méthode : Division euclidienne

On montre que l'équation de l'asymptote est obtenue en effectuant la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. L'équation de l'asymptote apparaît en quotient.

Troisième méthode : Séparation astucieuse

Cette méthode est la plus rapide mais nécessite une certaine dextérité dans le calcul algébrique. Il s'agit de faire apparaître, dans le numérateur, le dénominateur en facteur d'un monôme du premier degré suivi du même dénominateur en facteur d'une constante suivi de termes compensateurs pour retrouver le numérateur de la fraction rationnelle d'origine. Après simplification, on voit clairement apparaître l'asymptote.

Exemple 1 Soit la fonction f définie par : $f(x)={\frac {2x^{2}-5x+4}{x-1}}$ Déterminer l'asymptote oblique. Corrigé ${\begin{aligned}f(x)\,&=\,{\frac {2x^{2}-5x+4}{x-1}}\\&=\,{\frac {2x(x-1)-3(x-1)+1}{x-1}}\\&=\,2x-3+{\frac {1}{x-1}}\end{aligned}}$ Nous voyons que l’asymptote oblique est la droite d'équation : $y=2x-3$

Exemple 2 Soit la fonction f définie par : $f(x)={\frac {3x^{3}+2x^{2}-3x+3}{x^{2}+x-1}}$ Déterminer l'asymptote oblique. Corrigé ${\begin{aligned}f(x)\,&=\,{\frac {3x^{3}+2x^{2}-3x+3}{x^{2}+x-1}}\\&=\,{\frac {3x(x^{2}+x-1)-(x^{2}+x-1)+x+2}{x^{2}+x-1}}\\&=\,3x-1+{\frac {x+2}{x^{2}+x-1}}\end{aligned}}$ Nous voyons que l’asymptote oblique est la droite d'équation : $y=3x-1$

Changement de repère

Soit une fonction f. La courbe représentative de f est une courbe que l'on a dessiné dans un repère de façon à ce que chaque point M de la courbe ait pour couple de coordonnées (x,f(x)), f(x) étant l'image de x par f. On aurait pu aussi dire que les coordonnées d'un point M choisi sur la courbe sont le couple (x,y) en posant y = f(x).

Dans certaines situations, il peut être intéressant de représenter la même courbe dans un autre repère. L'expression de la fonction f sera alors différente, mais la forme de la courbe représentative sera globalement la même bien que sa position par rapport au nouveau repère soit différente. C'est un peu comme si la courbe avait subi une translation.

Sur le schéma, à droite, nous avons dessiné une courbe mais nous avons mis deux repères. Nous supposerons que l'ancien repère est le repère marron d'origine O et nous supposerons que le nouveau repère est le repère bleu d'origine Ω. Considérons un point M sur la courbe. Nous appellerons (x,y) les coordonnées de M dans l’ancien repère (marron) et nous appellerons (X,Y) les coordonnées de M dans le nouveau repère (bleu). Supposons que les coordonnées du point Ω dans l'ancien repère soient (a,b). Nous allons essayer de trouver une relation liant les anciennes coordonnées aux nouvelles coordonnées.

Pour cela nous remarquerons que :

• les coordonnées du vecteur ${\vec {OM}}$ dans l'ancien repère sont (x,y)
• les coordonnées du vecteur ${\vec {\Omega M}}$ dans le nouveau repère sont (X,Y)
• les coordonnées du vecteur ${\vec {O\Omega }}$ dans l'ancien repère sont (a,b)

La relation de Chasles nous donne alors :

${\vec {OM}}={\vec {O\Omega }}+{\vec {\Omega M}}$

Si l'on traduit cette relation sur les abscisses et les ordonnées des vecteurs, on obtient :

${\begin{cases}x=a+X\\y=b+Y\end{cases}}$

Une des applications possibles du changement de repère est de démontrer qu'un axe vertical est axe de symétrie de la courbe ou de démontrer qu'un point est centre de symétrie de la courbe. Nous allons envisager ces deux cas dans les deux exemples qui suivent :

Exemple 1 Soit la fonction f définie par : $f(x)={\frac {x^{4}-8x^{3}+21x^{2}-20x+5}{x^{2}-4x+1}}$ Montrez que la courbe représentative de cette fonction admet la droite verticale d'équation x = 2 comme axe de symétrie. Corrigé Nous allons faire un changement de repère en choisissant comme nouveau repère, un repère de centre Ω de coordonnées (2;0) (L'ordonnée n'a pas d'importance puisque seul l'axe des ordonnées nous importe) Si la droite d'équation x = 2 est bien un axe de symétrie, alors dans le nouveau repère l'équation de la courbe devrait s'exprimer par une fonction paire. L'équation de la courbe dans l'ancien repère est (en posant y = f(x)) : $y={\frac {x^{4}-8x^{3}+21x^{2}-20x+5}{x^{2}-4x+1}}$ Les formules de changement de repère sont : ${\begin{cases}x=a+X=X+2\\y=b+Y=Y\end{cases}}$ En remplaçant, on obtient : $Y={\frac {(X+2)^{4}-8(X+2)^{3}+21(X+2)^{2}-20(X+2)+5}{(X+2)^{2}-4(X+2)+1}}$ En développant et en simplifiant, on obtient : $Y={\frac {X^{4}-3X^{2}+1}{X^{2}-3}}$ qui est bien une fonction paire. La droite d'équation x = 2 (dans l'ancien repère) est donc bien un axe de symétrie.

Exemple 2 Soit la fonction f définie par : $f(x)={\frac {x^{3}-5x^{2}+5x-3}{x^{2}-2x+2}}$ Montrez que la courbe représentative de cette fonction admet le point de coordonnées (1;-2) comme centre de symétrie. Corrigé Nous allons faire un changement de repère en choisissant comme nouveau repère, un repère de centre Ω de coordonnées (1;-2) Si le point Ω est bien centre de symétrie, alors dans le nouveau repère l'équation de la courbe devrait s'exprimer par une fonction impaire. L'équation de la courbe dans l'ancien repère est (en posant y = f(x)) : $y={\frac {x^{3}-5x^{2}+5x-3}{x^{2}-2x+2}}$ Les formules de changement de repère sont : ${\begin{cases}x=a+X=X+1\\y=b+Y=Y-2\end{cases}}$ En remplaçant, on obtient : $Y-2={\frac {(X+1)^{3}-5(X+1)^{2}+5(X+1)-3}{(X+1)^{2}-2(X+1)+2}}$ En développant et simplifiant, on obtient : $Y={\frac {X^{3}-2X}{X^{2}+1}}$ qui est une fonction impaire. Le point de coordonnées (1;-2) est donc bien centre de symétrie.

Symétrie axiale

Nous avons vu dans le paragraphe précédent comment montrer qu'une courbe admet un axe de symétrie vertical en faisant un changement de repère et en montrant que l'équation de la courbe dans le nouveau repère est une fonction paire. L'objet de ce paragraphe est d'essayer de simplifier un peu le processus en essayant d'établir une formule nous indiquant directement si un axe vertical d'équation x = a est axe de symétrie de la courbe. Pour cela, nous raisonnerons sur le schéma de droite. Soit donc une courbe ayant un axe de symétrie vertical (en vert sur le schéma) d'équation x = a. Soit deux abscisses symétriques par rapport à l'abscisse a, à savoir a+h et a-h (on suppose que ces deux abscisses appartiennent au domaine de définition). Que peut-on dire de f(a+h) et f(a-h). On voit clairement sur le schéma que si la courbe est bien symétrique par rapport à l'axe en vert, on a :

$f(a+h)=f(a-h)$

Qui s'écrit aussi :

$f(a+h)-f(a-h)=0$

On peut en déduire le théorème suivant :

Début d’un théorème

Théorème

Soit f une fonction. La courbe représentative de la fonction f admettra un axe de symétrie vertical d'équation x = a si et seulement si :

$\forall h\in \mathbb {R} \qquad f(a+h)-f(a-h)=0$

(En supposant, bien sûr, que a+h et a-h sont dans le domaine de définition de f)

Fin du théorème

Exemple Soit la fonction f définie par : $f(x)=x^{4}-8x^{3}+23x^{2}-28x+13$ Montrer que la droite d'équation x = 2 est un axe de symétrie de la courbe. Corrigé Pour montrer que la droite d'équation x = 2 est un axe de symétrie de la courbe, nous appliquerons la formule du théorème en prenant a = 2. On obtient : $\forall h\in \mathbb {R}$ ${\begin{aligned}f(a+h)-f(a-h)\,&=\,(a+h)^{4}-8(a+h)^{3}+23(a+h)^{2}-28(a+h)+13-(a-h)^{4}+8(a-h)^{3}-23(a-h)^{2}+28(a-h)-13\\&=\,(2+h)^{4}-8(2+h)^{3}+23(2+h)^{2}-28(2+h)+13-(2-h)^{4}+8(2-h)^{3}-23(2-h)^{2}+28(2-h)-13\\&=\,16+32h+24h^{2}+8h^{3}+h^{4}-64-96h-48h^{2}-8h^{3}+92+92h+23h^{2}-56-28h+\cdots \\&\qquad \cdots +13-16+32h-24h^{2}+8h^{3}-h^{4}+64-96h+48h^{2}-8h^{3}-92+92h-23h^{2}+56-28h-13\\&=\,0\end{aligned}}$ Par conséquent, la droite d'équation x = 2 est bien axe de symétrie de la courbe.

Symétrie centrale

Dans le paragraphe précédent, nous avons établi une formule permettant de montrer qu'une droite est axe de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f. Dans ce paragraphe, nous allons essayer, par un procédé similaire, de trouver une formule permettant de montrer qu'un point de coordonnées (a;b) est centre de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f. Raisonnons sur le schéma de droite. Comme dans le paragraphe précédent, considérons les abscisses a + h et a - h. Si le point de coordonnées (a;b) est bien centre de symétrie, nous constatons que l'ordonnée b tombe exactement au milieu des ordonnées f(a+h) et f(a-h). Autrement dit, b est la moyenne des nombres f(a+h) et f(a-h). Ce qui s'écrit :

$b={\frac {f(a+h)+f(a-h)}{2}}$

Nous pouvons écrire cette expression sous la forme :

$f(a+h)+f(a-h)-2b=0$

On peut en déduire le théorème suivant :

Début d’un théorème

Théorème

Soit f une fonction. La courbe représentative de la fonction f admettra pour centre de symétrie, un point de coordonnées (a;b) si et seulement si :

$\forall h\in \mathbb {R} \qquad f(a+h)+f(a-h)-2b=0$

(En supposant, bien sûr, que a+h et a-h sont dans le domaine de définition de f)

Fin du théorème

Exemple Soit la fonction f définie par : $f(x)={\frac {2x^{2}-3x+2}{x-1}}$ Montrer que l'interception des asymptotes est centre de symétrie pour la courbe représentative de la fonction. Corrigé On a : $\lim _{x\to 1^{+}}{\frac {2x^{2}-3x+2}{x-1}}=+\infty$ et $\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {2x^{2}-3x+2}{x-1}}=-\infty$ donc la droite d'équation x = 1 est une asymptote verticale. Ensuite : ${\begin{aligned}f(x)\,&=\,{\frac {2x^{2}-3x+2}{x-1}}\\&=\,{\frac {(2x-1)(x-1)+1}{x-1}}\\&=\,2x-1+{\frac {1}{x-1}}\end{aligned}}$ Nous en déduisons : $\lim _{x\to \pm \infty }\left[{\frac {2x^{2}-3x+2}{x-1}}-(2x-1)\right]=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x-1}}=0$ Donc la droite d'équation y = 2x-1 est une asymptote oblique. Pour trouver le point d'interception des asymptotes, nous devrons donc résoudre le système : ${\begin{cases}x=1\\y=2x-1\end{cases}}$ qui a pour solution : ${\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}$ Pour vérifier que le point de coordonnées (1;1) est centre de symétrie, nous appliquerons la formule du théorème en prenant a = 1 et b = 1. Ce qui donne: ${\begin{aligned}\forall h\in \mathbb {R} \qquad f(a+h)+f(a-h)-2b\,&=\,f(1+h)+f(1-h)-2\times 1\\&=\,{\frac {2(1+h)^{2}-3(1+h)+2}{(1+h)-1}}+{\frac {2(1-h)^{2}-3(1-h)+2}{(1-h)-1}}-2\\&=\,{\frac {2(1+2h+h^{2})-3(1+h)+2}{h}}-{\frac {2(1-2h+h^{2})-3(1-h)+2}{h}}-{\frac {2h}{h}}\\&=\,{\frac {2+4h+2h^{2}-3-3h+2-2+4h-2h^{2}+3-3h-2-2h}{h}}\\&=\,{\frac {0}{h}}\\&=\,0\end{aligned}}$ Nous voyons que le point d'interception des asymptotes est bien centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction f.

Étude d'un exemple

Pour synthétiser un peu ce que nous avons dit dans le début de ce chapitre et pour apprendre aussi quelques détails supplémentaires, nous nous proposons, dans ce paragraphe de faire l'étude complète d'une fonction :

Soit donc à étudier la fonction f définie par :

$f(x)={\frac {x^{2}-3x+6}{x-1}}$

Domaine de définition

Les dénominateurs ne doivent pas être nuls. Nous devons donc avoir :

$x-1\neq 0$

Nous en déduisons le domaine de définition de f:

$D_{f}=\mathbb {R} -\{1\}=]-\infty ;\;1[\cup ]1;\;+\infty [$

Limites aux bornes du domaine de définition

Nous voyons qu'il y a quatre limites à calculer :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-3x+6}{x-1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }x=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}-3x+6}{x-1}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{x}}=\lim _{x\to -\infty }x=-\infty$

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=\lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x^{2}-3x+6}{x-1}}={\frac {4}{0^{+}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x^{2}-3x+6}{x-1}}={\frac {4}{0^{-}}}=-\infty$

Nous en déduisons déjà que nous avons une asymptote verticale d'équation x = 1.

Calcul de la dérivée

Il s'agit simplement d'un quotient, donc :

$f'(x)={\frac {(2x-3)(x-1)-(x^{2}-3x+6)}{(x-1)^{2}}}={\frac {x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}}={\frac {(x+1)(x-3)}{(x-1)^{2}}}$

Pour étudier le signe de la dérivée, nous pouvons faire un tableau de signe :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&1&&3&&+\infty \\&&&\\\hline {\textrm {x+1}}&&-&0&+&&+&&+&\\\hline {\textrm {x-3}}&&-&&-&&-&0&+&\\\hline (x-1)^{2}&&+&&+&0&+&&+&\\\hline f'(x)&&+&0&-&\|&-&0&+&\\\hline \end{array}}$

Tableau de variations

Nous allons maintenant réunir tous les éléments dans un tableau de variations :

Dans ce tableau nous avons fait figurer :

• Les valeurs importantes prises par la variable.
• Une double barre là où la fonction et la dérivée ne sont pas définies.
• Le signe de la dérivée dans chaque intervalle.
• Des flèches allant des limites ou des valeurs de la fonction vers des limites ou des valeurs de la fonction.

Étude particulière

Le fait que le degré du numérateur surpasse de 1 le degré du dénominateur nous invite à penser que l'on a une asymptote oblique.

Pour le mettre en évidence, nous pouvons écrire la fonction ainsi :

$f(x)={\frac {x^{2}-3x+6}{x-1}}={\frac {(x-2)(x-1)+4}{x-1}}=x-2+{\frac {4}{x-1}}$

Ce qui nous permet de voir que :

$\lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-(x-2)\right]=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4}{x-1}}=0$

Par conséquent, la droite d'équation y = x-2 est une asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$.

Tracé de la courbe

On commence par tracer le repère. On place le maximum de coordonnées égales à (-1;-5) et le minimum de coordonnées (3;3). On trace l'asymptote verticale d'équation x = 1 et l'asymptote oblique d'équation y = x - 2. On a aussi tracé des tangentes horizontales (en bleu) sur le maximum et le minimum pour bien guider le tracé.

En s'aidant de tous les éléments que l'on a établis, on trace ensuite la courbe et l'on obtient :