Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Chute verticale d’un solide

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Introduction

Évolution de la vitesse d’un solide en chute libre en fonction du temps (avec vitesse initiale)

Comme on peut le voir sur cette image, il y a deux phases observables dans le mouvement du solide :

• un régime transitoire où la vitesse augmente et l'accélération diminue peu à peu ;
• un régime établi, où la vitesse est constante (c'est la vitesse limite) et l'accélération nulle.

Le but de ce cours est d'expliquer l'allure de cette courbe via une mise en équation.

Équation du mouvement

Deuxième loi de Newton

L'étude d’une chute verticale d’un solide indéformable que l’on assimile à un point M se fait dans un référentiel supposé galiléen. On lance l’objet à une vitesse initiale nulle et du point $A(x;y;z)$. On négligera les forces de frottements. L'objet est donc soumis que à son poids ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$. La deuxième loi de Newton nous donne immédiatement :

$\Sigma _{{\vec {F}}ext}=m{\vec {a}}$

Les frottements étant négligés pour cette étude, on arrive à la conclusion que seul le poids s'applique au système ponctuel :

$m{\vec {g}}=m{\vec {a}}$

Le vecteur accélération

La formule trouvée ci-dessus, nous donne en simplifiant par $m$ :

${\vec {a}}={\vec {g}}$

On déduit ainsi facilement les coordonnées de l'accélération qui sont les mêmes que celle du vecteur ${\vec {g}}$ :

${\vec {a}}{\begin{cases}a_{x}=0\\a_{y}=0\\a_{z}=-g\end{cases}}$

On voit en effet que sur l’axe $(Ox)~$ le vecteur pesanteur est nul et sur $(Oz)~$ sa projection est égale à sa norme et on rajoute un $-~$ puisqu’il est en sens opposé à ${\vec {z}}$

On va pouvoir maintenant déduire les coordonnées du vecteur vitesse.

Le vecteur vitesse

Les coordonnées de ce vecteur s'obtiennent par intégration selon le temps de celles du vecteur accélération, d’après la relation

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$

Ainsi, on obtient :

${\vec {v}}{\begin{cases}v_{x}=C_{1}\\v_{y}=C_{2}\\v_{z}=-gt+C_{3}\end{cases}}$

Où C₁, C₂ et C₃ sont des constantes que l’on va déterminer d’après les conditions initiales.

En effet, on sait que la vitesse initiale, donc :

${\vec {v}}{\begin{cases}v_{x}=0\\v_{y}=0\\v_{z}=-gt+0\end{cases}}$

On peut à présent déterminer le vecteur vitesse du point M à tout instant de la chute libre. On va à présent déterminer la position de ce point dans le plan $(xOz)~$

Le vecteur OM

De manière analogue que pour le vecteur vitesse, on a : ${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {OM}}}{\mathrm {d} t}}$

On procède donc de la même façon que pour la vitesse en intégrant ses coordonnées, on arrive à :

${\vec {OM}}{\begin{cases}x=C_{1}\\y=C_{2}\\z=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+C_{3}\end{cases}}$

Toujours de façon similaire, on détermine les constantes C₁, C₂ et C₃ en se plaçant à l'instant initial. Les constantes sont ainsi les coordonnées du point M à $t=0$, qui sont celles du point A. On arrive enfin aux équations du mouvement a proprement parler :

${\vec {OM}}{\begin{cases}x=x_{A}\\y=y_{A}\\z=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+z_{A}\end{cases}}$