Approche géométrique des nombres complexes/Établissement du contexte

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Ce premier chapitre construit pas à pas le contexte qui permettra dans le chapitre suivant de mieux visualiser les raisonnements sur lesquels vont se baser l'élaboration de l'addition et la multiplication de deux nombres complexes. Les personnes connaissant déjà les nombres complexes seront peut-être étonnées de trouver dans ce chapitre des notions qui habituellement sont enseignées en fin de cours. L'élève, sans même savoir additionner ou multiplier deux nombres complexes, saura déjà, à la fin de ce chapitre, ce que l’on appelle partie réelle ou imaginaire, module ou argument d'un nombre complexe. Le nombre i est déjà défini rigoureusement sans même que l’on ne connaisse ses propriétés en dehors de son module et son argument.

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Histoire de la création des nombres

Nous allons récapituler, dans ce paragraphe, l'histoire de la création des principaux ensembles de nombres.

Il y a d’abord eu la création des nombres entiers naturels. Nous ne reviendrons pas sur la création de cet ensemble. La seule chose qui nous intéresse dans le cadre de cette leçon est : Comment représenter géométriquement ces nombres.

La représentation qui est généralement adoptée est de mettre ces nombres sur une droite horizontale :

Nous voyons, qu'à certains points de la droite, nous avons associé un nombre entier particulier. Il ne faut pas confondre un point avec un nombre. Il s'agit juste d'une association. Si un nombre est associé à un point, nous dirons que ce nombre est l'affixe du point.

Affixe d'un point

Dans une représentation géométrique d'un ensemble de nombre. si l’on considère la relation qui à un nombre associe un point, on appellera affixe du point le nombre qui est l’antécédent de ce point par cette relation.

Il est à remarquer que l’on donne un peu prématurément cette définition pour des raisons pédagogiques. En réalité, on parle principalement d'affixe quand l’on a affaire à des nombres complexes. Mais il n'y a pas d'inconvénient à généraliser cette définition pour tous les ensembles de nombres.

Nous remarquons qu'un grand nombre de points n'ont pas d'affixe, nous voulons dire par là qu'un grand nombre de points n'ont pas de nombre associé (du moins pour le moment). Cela nous donne la possibilité de créer des nombres supplémentaires pour compléter l’ensemble des entiers naturels. C'est comme cela, qu'après avoir constaté que des équations comme x + 3 = 2 n'avaient pas de racine dans l’ensemble des entiers naturels, nous avons été amené à introduire l’ensemble des entiers relatifs. Une étude, que nous ne détaillerons pas ici, nous a amené à rajouter des nombres que l’on a appelé nombres négatifs. Ce qui, visuellement, nous a amené à compléter la droite ainsi :

Nous voyons, sur cette droite, que des points, qui n'avaient pas d'affixe précédemment, ont à présent une affixe. Mais il reste des points sans affixe comme il reste des équations sans solution. C'est ainsi, qu'après avoir constaté que, par exemple, l'équation 3x = 5 n'a toujours pas de solution, nous avons été amené à rajouter à nouveau des nombres et nous avons ainsi obtenu l’ensemble des nombres rationnels. Ce qui a considérablement augmenté le nombre de points de la droite ayant une affixe, à tel point que certains ont même pensé que tous les points de la droite avaient une affixe. En fait, il n'en est rien et certains mathématiciens ont même montré que, si l’on prenait un point de la droite au hasard, la probabilité qu’il ait une affixe rationnelle est nulle. Et d'ailleurs, on constate qu’il existe encore des équations qui n'ont pas de racines, comme l'équation x² = 2.

C'est ainsi qu'est apparu un nouvel ensemble de nombres que l’on appelle les nombres réels et qui finissent de compléter la droite. Cette fois, ça y est, la droite est pleine. Les mathématiciens ont montré que l’on ne pouvait plus rajouter de nombre pouvant se représenter sur notre droite car tous les points de la droite ont à présent une affixe.

Pourtant, il reste un problème de taille : il existe encore des équations qui n'ont pas de racine, alors qu'on aimeraient bien qu’elles en aient. C'est le cas, par exemple, de l'équation x² = -1 dont on démontre aisément qu'elle n'a pas de solution dans l’ensemble des nombres réels.

Passage de la droite au plan

L'idée audacieuse que l’on est amené à avoir, après avoir lu le paragraphe précédent, est de se dire:

Puisqu’il n'y a plus de place sur la droite pour y rajouter des nombres, pourquoi ne pas mettre ces nombres à côté de la droite. Pourquoi ne pas considérer que cette droite fait partie d'un plan et rajouter ces nombres dans le plan en dehors de la droite contenant les nombres réels.

C'est cette idée que l’on va à présent développer dans la suite de cette leçon. Nous allons essayer de construire un plan contenant la droite des nombres réels, et dont les affixes des points sont des nombres vérifiant les propriétés des nombres qui nous sont familiers tout en permettant de résoudre de nouvelles équations comme l'équation x² = -1.

Plan complexe

On appelle plan complexe, un plan contenant la droite des nombres réels et dont les affixes des points sont des nombres qui, d'une part, ont des propriétés qui prolongent les propriétés classiques des nombres réels et, d’autre part, permettent de résoudre une équation du type

$x^{2}=b$

même si b est négatif.

L'ensemble de nombres constituant les affixes des points du plan complexe sera appelé ensemble des nombres complexes et sera noté $\mathbb {C}$.

Cette définition est très vague et imprécise, car on ne précise pas quelles sont les propriétés des nombres réels que l’on veut voir conserver. Nous dirons, pour être plus précis, que ce sont toutes les propriétés des nombres que l’on utilise couramment pour résoudre une équation. Cette définition est aussi audacieuse car nous ne savons pas, pour le moment, si de tels nombres peuvent exister (heureusement, nous allons montrer qu’ils existent sinon nous ne ferions pas cette leçon).

Nous avons maintenant un plan complexe qui possède une droite dont les affixes sont les nombres réels. Cette droite, nous l'appellerons plus simplement droite réelle.

Nous allons munir le plan complexe d'un repère orthonormé en choisissant comme axe des abscisses la droite réelle et comme axe des ordonnées une droite perpendiculaire à la droite réelle et passant par le point d'affixe, le nombre réel 0. L'unité de l'axe des abscisses correspondra bien sûr à l’affixe, le nombre réel 1. En ce qui concerne l'unité de l'axe des ordonnées, nous ne connaissons rien sur l'affixe de cette unité. Nous nous contenterons pour le moment de la désigner par la lettre i.

Définition du nombre i

On appelle i le nombre complexe qui est l'affixe de l'unité de l'axe des ordonnées dans le plan complexe.

Généralement, les physiciens préfèrent désigner ce nombre par la lettre j, pour ne pas le confondre avec l'intensité électrique.

Quelques définitions

Nombres imaginaires

Même si nous ne savons pas encore s'il existe de tels nombres, nous allons dans un premier temps imaginer qu’ils existent et tous ces nombres dont nous n'avons, pour le moment, pas la certitude qu’ils existent mais dont nous imaginons qu’ils existent, nous les appellerons nombres imaginaires.

Nombres imaginaires

Nous appellerons nombre imaginaire, un nombre qui est l'affixe d'un point du plan complexe tout en n'étant pas l'affixe d'un point de la droite réelle.

Nous appellerons nombre imaginaire pur un nombre qui est l'affixe d'un point de l'axe des ordonnées dans le plan complexe.

L'axe des ordonnées sera alors appelé droite des imaginaires purs.

i est donc un nombre imaginaire pur.

En réalité, le terme imaginaire vient des algébristes du seizième siècle, qui voyaient les nombres complexes comme des nombres imaginaires sans valeur à l'opposé des nombres réels qui ont une valeur. À cette époque, on ne disposait même pas du plan complexe pour visualiser ces nombres. La notion de plan complexe a été introduite plus tard par Jean-Robert Argand en 1806. L'appellation « nombre complexe », elle-même, a été introduite par Gauss en 1831.

rappel sur les repérages d'un point dans un plan

Soit un plan muni d'un repère orthonormé (c'est le cas de notre plan complexe). Il y a plusieurs façons de repérer un point dans ce plan, nous allons en considérer deux.

La plus classique est de considérer ses coordonnées cartésiennes que l’on appelle abscisse et ordonnée. Nous allons adapter ceci dans notre plan complexe en raisonnant sur les affixes. Considérons un point M du plan complexe et son affixe associée m. M est un point et m est un nombre complexe. Considérons les coordonnées du point M que l’on notera (a, b).

« a » est l'abscisse de M et repère le point M par rapport à la droite des abscisses qui correspond aux nombres réels. Pour cette raison, vis-à-vis de l'affixe m de M, « a » sera appelé « partie réelle » de m. De même « b » est l'ordonnée de M et repère le point M par rapport à la droite des ordonnées qui correspond aux nombres imaginaires purs. Pour cette raison, vis-à-vis de l'affixe m de M, « b » sera appelé « partie imaginaire » de m.

Partie réelle d'un nombre complexe

Soit m l'affixe d'un point M dans le plan complexe. On appelle partie réelle du nombre complexe m, l'abscisse du point M.

Partie imaginaire d'un nombre complexe

Soit m l'affixe d'un point M dans le plan complexe. On appelle partie imaginaire du nombre complexe m, l'ordonnée du point M.

Considérons maintenant une autre façon de repérer un point, dans un plan, que l’on appelle coordonnées polaires. Soit M un point du plan complexe et m son affixe. Soit O l'origine du repère d'affixe le nombre 0. Un point peut alors se repérer par sa distance au point O et par l'angle orienté formé par la demi-droite [OM) et la demi-droite issue de O et formée des points d'affixes réelles positives.

Commençons par considérer la distance du point M au point O.

Pour l'affixe m de M, cette distance sera appelée module de m. Si l’on se limite au nombre réel, nous savons que la distance d'un nombre à l'origine s’appelle valeur absolue. Par exemple |-3| = 3 et |7| = 7. Pour ces raisons, il n'y a aucun inconvénient à considérer que le module d'un nombre complexe est une généralisation de la valeur absolue des nombres réels à l’ensemble des nombres complexes. Nous noterons donc le module d'un nombre complexe m de la même façon que l’on notait la valeur absolue d'un nombre réel, c'est-à-dire |m|.

Module d'un nombre complexe

Soit m l'affixe du point M. On appelle module de m que l’on notera |m|, la distance du point M au point O.

Par exemple, on a :

$|7|=7$

$|-3|=3$

$|i|=1$

Nous savons aussi en géométrie calculer la distance entre deux points, connaissant les coordonnées des deux points. Nous pouvons donc facilement calculer la distance d'un point M au point O en fonction des coordonnées du point M. En passant aux affixes, ce calcul nous permet d'obtenir une formule donnant le module d'un nombre complexe en fonction de ses parties réelles et imaginaires.

Relation entre module d'un nombre complexe et ses parties réelle et imaginaire.

Soit m un nombre complexe. Soit a, sa partie réelle. Soit b, sa partie imaginaire.

Le module de m est alors donné par la relation :

$|m|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Considérons maintenant l'angle orienté formé par la demi-droite [OM) et la demi-droite issue de O et formée des points d'affixes réelles positives.

si m est l'affixe de M, alors cet angle sera appelé argument de m et sera noté arg(m).

Argument d'un nombre complexe

Soit m l'affixe du point M. On appelle argument de m que l’on notera arg(m), l'angle orienté formé par la demi-droite [OM) et la demi-droite issue de O et formée des points d'affixes réelles positives.

Cet angle s'exprime généralement en radian

On a, par exemple :

$\arg(7)=0$

$\arg(-3)=\pi$

$\arg(i)={\frac {\pi }{2}}$

Là aussi, nos connaissances en trigonométrie nous permettent d'exprimer le sinus et le cosinus de l'angle orienté formé par la demi-droite [OM) et la demi-droite issue de O et formée des points d'affixes réelles positives en fonction des coordonnées du point M. Traduit sur les affixes, nous obtenons des relations exprimant le sinus et le cosinus de l'argument d'un nombre complexe en fonction de son module et ses parties réelles et imaginaires. Nous en déduisons :

Expressions des parties réelles et imaginaires d'un nombre complexe en fonction de son module et son argument.

Soit m un nombre complexe. Soit a, sa partie réelle. Soit b, sa partie imaginaire. Soit α, son argument.

Les parties réelle et imaginaire de m sont alors données par les relations :

$a=|m|.\cos(\alpha )$

$b=|m|.\sin(\alpha )$