Approche géométrique des nombres complexes/Apports à l'algèbre

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Ce chapitre traite des apports des nombres complexes à l'algèbre. Contrairement aux chapitres précédents, nous allons voir que les nombres complexes n'apportent pas des méthodes permettant de résoudre les équations de façon plus confortable, mais viennent combler un véritable manque en permettant de résoudre des équations que l’on ne savait pas résoudre du tout dans l’ensemble des nombres réels.

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Racines de l'unité

Nous nous proposons d'étudier, dans ce paragraphe, les racines n-ièmes de l'unité.

Soit donc r un nombre qui, élevé à la puissance n, va donner 1 :

$r^{n}=1$.

La meilleure façon de déterminer r est d'étudier son module et son argument.

Commençons par le module.

Comme le module d'un produit est le produit des modules, nous avons :

$|r|^{n}=1$,

ce qui entraîne :

$|r|=1$.

$r$ est donc un nombre complexe de module 1. Il se trouve donc sur le cercle trigonométrique et peut donc s'écrire sous la forme :

$r=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$.

La relation :

$r^{n}=1$

s'écrit alors :

$\operatorname {e} ^{n\mathrm {i} \varphi }=1$

et cela ne peut se produire que si :

$n\varphi =2k\pi \qquad \qquad k\in \mathbb {Z}$.

On a donc obtenu :

$r_{k}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2k\pi }{n}}}\qquad \qquad k\in \mathbb {Z}$.

Nous voyons que pour chaque valeur de n, les arguments des racines n-ièmes de l'unité sont des multiples de la valeur 2π/n. Leurs représentations sur le cercle trigonométrique seront des points différents pour k = 1, 2, 3, ..., n. Pour les autres valeurs de k, nous repasserons sur un point déjà obtenu. Nous remarquons qu’il y a donc exactement n racines n-ièmes de l'unité et ces racines se trouvent dans le cercle trigonométrique au sommet d'un polygone régulier dont l'un des sommets est le point d'affixe 1.

Racines n-ièmes de l'unité

Il y a exactement n racines n-ièmes du nombre complexe 1 et leurs représentations dans le plan complexe se trouvent aux sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique et dont l'un des sommets est le point d'affixe 1.

Racines cubiques de l'unité

Les racines cubiques se trouvent au sommet d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique. Ses valeurs sont :

$\left\{{\begin{matrix}r_{0}=1\\r_{1}=-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\r_{2}=-{\frac {1}{2}}-\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{matrix}}\right.$

La valeur de r₁ est souvent utilisée. Nous la représentons, en mathématiques, par la lettre j.

j vérifie de par sa définition :

$\mathrm {j} ^{3}=1\Leftrightarrow \mathrm {j} ^{3}-1=0\Leftrightarrow (\mathrm {j} -1)(\mathrm {j} ^{2}+\mathrm {j} +1)=0$

Comme j n’est pas égal à 1, nous voyons que :

$\mathrm {j} ^{2}+\mathrm {j} +1=0$.

Racines quatrièmes de l'unité

Les racines quatrièmes se trouvent au sommet d'un carré inscrit dans le cercle trigonométrique. Ses valeurs sont :

$\left\{{\begin{matrix}r_{0}=1\\r_{1}=\mathrm {i} \\r_{2}=-1\\r_{3}=-\mathrm {i} \end{matrix}}\right.$

Racines cinquièmes de l'unité

Les racines cinquièmes se trouvent au sommet d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. Ses valeurs sont :

$\left\{{\begin{matrix}r_{0}=1\\r_{1}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}\\r_{2}=-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}\\r_{3}=-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}-\mathrm {i} {\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}\\r_{4}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}-\mathrm {i} {\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}\end{matrix}}\right.$

Racines sixièmes de l'unité

Les racines sixièmes se trouvent au sommet d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. Ses valeurs sont :

$\left\{{\begin{matrix}r_{0}=1\\r_{1}={\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\r_{2}=-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}=\mathrm {j} \\r_{3}=-1\\r_{4}=-{\frac {1}{2}}-\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\overline {\mathrm {j} }}\\r_{5}={\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{matrix}}\right.$

Racine n-ième d'un nombre complexe

Soit m un nombre complexe. Peut-on trouver tous les nombres r qui, élevés à la puissance n, vont donner m ? Tel qu’il est posé, le problème est trop difficile à résoudre.

Nous allons faire une hypothèse simplificatrice : supposons que l’on connaisse un nombre r tel que rⁿ = m. Peut-on en déduire toutes les racines n-ièmes de m ?

Si l’on raisonne du point de vue du module, nous voyons que tous les nombres répondant à la question ont forcément le même module que r et sont donc les affixes de points du cercle passant par le point d'affixe r et de centre l'origine. Ils s'écrivent donc sous la forme :

$r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$

et l'on a :

$\left(r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\right)^{n}=m$,

qui s'écrit :

$r^{n}\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\right)^{n}=m$.

En simplifiant, on obtient :

$\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\right)^{n}=1$

et l’on est ramené à chercher les racines n-ièmes de l'unité. D'après le paragraphe précédent, on en déduit donc qu’il y a n racines n-ièmes du nombre m. Ce sont les nombres :

$r_{k}=r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2k\pi }{n}}}\qquad \qquad k\in \mathbb {Z}$.

Racine carrée d'un nombre complexe

Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment calculer les n racines n-ièmes d'un nombre complexe à partir de la connaissance de l'une d'entre elles. Mais si nous ne connaissons pas l'une d'entre elles, le calcul devient compliqué si n est trop élevé. Nous allons voir que nous pouvons le faire, sans trop de difficulté, pour n = 2.

Soit donc un nombre complexe dont l'écriture algébrique est a + ib. Calculons tous les nombres complexes x + iy vérifiant :

$(x+\mathrm {i} y)^{2}=a+\mathrm {i} b$.

En développant le premier membre, nous obtenons :

$x^{2}+2\mathrm {i} xy-y^{2}=a+\mathrm {i} b$.

En identifiant parties réelles et parties imaginaires, nous obtenons :

$\left\{{\begin{matrix}x^{2}-y^{2}=a\\2xy=b\end{matrix}}\right.$

On pourrait se contenter de ces deux équations, mais on peut simplifier un peu le problème en y rajoutant une troisième équation obtenue en écrivant l'égalité des modules dans la relation :

$(x+\mathrm {i} y)^{2}=a+\mathrm {i} b$,

qui nous donne :

$\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Après simplification, nous obtenons le système :

$\left\{{\begin{matrix}x^{2}-y^{2}=a\\x^{2}+y^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\2xy=b\end{matrix}}\right.$

En remplaçant les deux premières équations par leurs somme et différence membres à membres, nous obtenons :

$\left\{{\begin{matrix}2x^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a\\2y^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a\\2xy=b\end{matrix}}\right.$

Nous voyons que les expressions :

${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a$

${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a$

sont positives pour toutes valeurs de a et b, par conséquent :

• la première équation nous donne deux valeurs opposées de x.
• la deuxième équation nous donne deux valeurs opposées de y.

Pour savoir quelle valeur de x va avec quelle valeur de y, nous utilisons la troisième équation.

Nous constatons que tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines opposées.

Équations du second degré

Nous avons vu que, dans l’ensemble des nombres réels, les équations du second degré avaient deux racines si le discriminant Δ était positif et aucune racine si le discriminant Δ était négatif. Ceci venait du fait que, dans l’ensemble des nombres réels, les nombres négatifs n'ont pas de racines carrées.

Dans l’ensemble des nombres complexes, la situation est différente car nous venons de voir que tout nombre complexe non nul a exactement deux racines carrées et par conséquent les équations du second degré vont pouvoir être résolues même si le discriminant est négatif ou a une valeur complexe quelconque.

Nous n'allons pas reprendre l'étude des équations du second degré à zéro car il n'y a aucune différence. Nous arrivons exactement aux mêmes formules, si ce n'est que pour toutes valeurs du discriminant, nous pourrons continuer en cherchant ses deux racines.

Nous nous contenterons de donner un exemple :

Soit à résoudre l'équation : $x^{2}-2x+1-2\mathrm {i} =0$. Calculons le discriminant. $\Delta =(-2)^{2}-4\times 1\times (1-2\mathrm {i} )=8\mathrm {i}$. Calculons les racines de 8i : Cherchons x et y réels tels que : $(x+\mathrm {i} y)^{2}=8\mathrm {i}$. En développant, en égalant parties réelles et imaginaires et en égalant les modules, on obtient : $\left\{{\begin{matrix}x^{2}-y^{2}=0\\x^{2}+y^{2}=8\\2xy=8\end{matrix}}\right.$ Par addition et soustraction membres à membres des deux premières équations, nous obtenons : $\left\{{\begin{matrix}x^{2}=4\\y^{2}=4\\xy=4\end{matrix}}\right.$ soit : $\left\{{\begin{matrix}x=\pm 2\\y=\pm 2\\xy=4.\end{matrix}}\right.$ Les deux racines de 8i sont donc : $\left\{{\begin{matrix}\delta _{1}=2+2\mathrm {i} \\\delta _{2}=-2-2\mathrm {i} .\end{matrix}}\right.$ Les racines de l'équation à résoudre sont alors : $\left\{{\begin{matrix}z_{1}={\frac {2+\delta _{1}}{2}}={\frac {2+2+2\mathrm {i} }{2}}=2+\mathrm {i} \\z_{2}={\frac {2+\delta _{2}}{2}}={\frac {2-2-2\mathrm {i} }{2}}=-\mathrm {i} \\\end{matrix}}\right.$

Équations du troisième degré

Les équations du troisième degré ne sont généralement pas aux programmes à ce niveau. Toutefois si certains d'entre vous sont téméraires et curieux, vous pouvez toujours jeter un coup d’œil à la leçon : Équation du troisième degré (d'un niveau nettement supérieur).