Approche géométrique des nombres complexes/Devoir/Résolution d'une équation du quatrième degré

1°  Soit $\theta$ un réel fixé. Démontrer que l'équation :

$z^{2}-2z\cos \theta +1=0$

admet en général deux solutions complexes conjuguées, notées $z_{1}$ et ${\bar {z_{1}}}$. Les exprimer en fonction de $\theta$. Préciser leur module. Examiner le cas où $\theta =k\pi ,\quad k\in \mathbb {Z}$.

2°  Les solutions de l'équation :

$z^{2}-2z\cos \theta '+1=0$

avec $\theta '$ réel fixé, sont notées $z_{2}$ et ${\bar {z_{2}}}$.

Soit :

$P(z)=z^{4}+az^{3}+bz^{2}+cz+d$.

En fonction de $\cos \theta$ et $\cos \theta '$, calculer $a,\,b,\,c,\,d$ pour que $P(z)$ soit identique au polynôme :

$Q(z)=(z-z_{1})(z-{\bar {z_{1}}})(z-z_{2})(z-{\bar {z_{2}}})$.

Démontrer qu'alors, $a=c$ et $d=1$.

3°  Inversement $a,\,b,\,c,\,d$ sont fixés, tels que $a=c,\,d=1$ et l'on cherche à déterminer les réels $\theta$ et $\theta '$ tels que $Q(z)$ soit identique à $P(z)$.

Démontrer que $\cos \theta$ et $\cos \theta '$ sont solutions de l'équation :

$X^{2}+{\frac {a}{2}}X+{\frac {b-2}{4}}=0$.

Écrire les inégalités que $a$ et $b$ doivent vérifier pour que $\theta$ et $\theta '$ existent.

4°  On se propose d'interpréter géométriquement ces inégalités. Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé, soit M le point de coordonnées $(a,b)$.

Déterminer l'ensemble des points M tels que $\theta$ et $\theta '$ existent. Tracer soigneusement les courbes qui délimitent cet ensemble.

5°  Appliquer les résultats précédents à la résolution de l'équation :

$z^{4}-3z^{3}+4z^{2}-3z+1=0$

en déterminant au préalable $\theta$ et $\theta '$.

Corrigé

1. $z^{2}-2z\cos \theta +1=\left(z-z_{1}\right)\left(z-{\bar {z}}_{1}\right)$ avec $z_{1}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ et son conjugué ${\bar {z}}_{1}=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }$ (de module $1$), égaux si et seulement si $\theta \in \pi \mathbb {Z}$. Plus précisément, si $\theta =k\pi$, $z_{1}={\bar {z}}_{1}=(-1)^{k}$.
2. Le polynôme $Q(z)=\left(z^{2}-2z\cos \theta +1\right)\left(z^{2}-2z\cos \theta '+1\right)=z^{4}-2\left(\cos \theta +\cos \theta '\right)z^{3}+(2+4\cos \theta \cos \theta ')z^{2}-2\left(\cos \theta +\cos \theta '\right)z+1$ est égal au polynôme $P(z)$ si et seulement si $a=c=-2\left(\cos \theta +\cos \theta '\right)$, $d=1$ et $b=2+4\cos \theta \cos \theta '$.
3. $\theta$ et $\theta '$ existent si et seulement s'il existe deux réels compris entre $-1$ et $1$ (leurs cosinus respectifs), de somme $-a/2$ et de produit $(b-2)/4$, c'est-à-dire racines du polynôme $X^{2}+{\frac {a}{2}}X+{\frac {b-2}{4}}$. Pour cela, il faut et il suffit que ce polynôme soit positif ou nul en $-1$ et $1$ et que son minimum (atteint en $-a/4$) soit négatif ou nul, c'est-à-dire $\left|{\frac {a}{2}}\right|-1\leq {\frac {b-2}{4}}\leq {\frac {a^{2}}{16}}$, ou encore :

   $2\left|a\right|-2\leq b\leq {\frac {a^{2}}{4}}+2$.

4. L'ensemble des points M tels que $\theta$ et $\theta '$ existent est donc le triangle curviligne délimité par la parabole d'équation $b={\frac {a^{2}}{4}}+2$ et les deux demi-droites $b=2a-2,a\geq 0$ et $b=-2a-2,a\leq 0$ (d'origine $(0,-2)$). La droite $b=2a-2$ est tangente à la parabole au point $(4,6)$ et la figure est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. Graphique Google.
5. $a=-3$ et $b=4$ donc $X^{2}+{\frac {a}{2}}X+{\frac {b-2}{4}}=X^{2}-{\frac {3}{2}}X+{\frac {1}{2}}=\left(X-1\right)\left(X-{\frac {1}{2}}\right)$.
   $z^{4}-3z^{3}+4z^{2}-3z+1=\left(z^{2}-2z+1\right)\left(z^{2}-z+1\right)$ s'annule en $1$ (racine double) et en $\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /3}={\frac {1\pm \mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.