1° Soit
un réel fixé. Démontrer que l'équation :
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Devoir : Résolution d'une équation du quatrième degré
Approche géométrique des nombres complexes/Devoir/Résolution d'une équation du quatrième degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
![{\displaystyle z^{2}-2z\cos \theta +1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df44f316ac2953a5debd97e0a3e73f1241b7729)
- admet en général deux solutions complexes conjuguées, notées
et
. Les exprimer en fonction de
. Préciser leur module. Examiner le cas où
.
2° Les solutions de l'équation :
![{\displaystyle z^{2}-2z\cos \theta '+1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a959c14a2370773028cae4c7cc625c441439e930)
- avec
réel fixé, sont notées
et
.
- Soit :
.
- En fonction de
et
, calculer
pour que
soit identique au polynôme :
.
- Démontrer qu'alors,
et
.
3° Inversement
sont fixés, tels que
et l'on cherche à déterminer les réels
et
tels que
soit identique à
.
- Démontrer que
et
sont solutions de l'équation :
.
- Écrire les inégalités que
et
doivent vérifier pour que
et
existent.
4° On se propose d'interpréter géométriquement ces inégalités. Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé, soit M le point de coordonnées
.
- Déterminer l'ensemble des points M tels que
et
existent. Tracer soigneusement les courbes qui délimitent cet ensemble.
5° Appliquer les résultats précédents à la résolution de l'équation :
![{\displaystyle z^{4}-3z^{3}+4z^{2}-3z+1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c8802bd3669638375163ca800bb964ae24caa3)
- en déterminant au préalable
et
.
Corrigé
avec
et son conjugué
(de module
), égaux si et seulement si
. Plus précisément, si
,
.
- Le polynôme
est égal au polynôme
si et seulement si
,
et
.
et
existent si et seulement s'il existe deux réels compris entre
et
(leurs cosinus respectifs), de somme
et de produit
, c'est-à-dire racines du polynôme
. Pour cela, il faut et il suffit que ce polynôme soit positif ou nul en
et
et que son minimum (atteint en
) soit négatif ou nul, c'est-à-dire
, ou encore :
.
- L'ensemble des points M tels que
et
existent est donc le triangle curviligne délimité par la parabole d'équation
et les deux demi-droites
et
(d'origine
). La droite
est tangente à la parabole au point
et la figure est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. Graphique Google.
et
donc
.
s'annule en
(racine double) et en
.