Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires

Suites récurrentes linéaires
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Exercices no8
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Suites récurrentes linéaires

Exercices de niveau 14.

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Exercice 1Modifier

(Récurrence linéaire d'ordre 3)

Soit  , de racines complexes   (non nécessairement distinctes). On pose  . Montrer que :

  1.   ;
  2.   ;
  3.  .

Exercice 2Modifier

Soit   une suite numérique vérifiant une relation de récurrence de la forme

 .

On pose   et  .

  1. En supposant  , trouver une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 vérifiée par   et une relation de récurrence linéaire d'ordre 3 vérifiée par  , et montrer que cette dernière est aussi vérifiée par  .
  2. Redémontrer directement ces résultats sans supposer  .
  3. Application : soient   et   deux suites vérifiant :
     ,
    avec   et  . On suppose qu'il existe des constantes   telles que la relation
     
    soit vérifiée pour  . Montrer qu'elle l'est alors pour tout  .

Exercice 3Modifier

Soit   une suite numérique vérifiant une relation de récurrence de la forme

 .

On suppose que   et  .

Montrer qu'il existe des constantes  ,   et   telles que   (pour tout  ).

Exercice 4Modifier

Soit   une suite numérique. On pose   et  .

  1. On suppose :  .
    1. Montrer que la suite   est géométrique et que  .
    2. En déduire :  .
  2. Réciproquement, on suppose, pour un certain  , que   est vérifiée pour  . On suppose de plus   et, si  ,  .
    Montrer que si   est vérifiée pour   et  , alors elle l'est pour tout  .