Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence

Convergence
Image logo représentative de la faculté
Exercices no7
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Convergence et Suites extraites

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Suite récurrente homographique
Exo suiv. :Suites récurrentes linéaires
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Convergence
Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 1Modifier

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier).

  1. Si une suite positive est non majorée, elle tend vers l'infini.
  2. Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire.
  3. Si une suite positive tend vers  , elle est décroissante.
  4. Si une suite positive tend vers  , elle est décroissante à partir d'un certain rang.
  5. Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.
  6. Si une suite est croissante et non bornée, elle tend vers l'infini.
  7. Si   alors  .

Exercice 2Modifier

Soit  . On considère la suite   définie par   et  .

  1. Montrer que la suite est bien définie.
  2. Montrer qu'elle est croissante à partir du rang 1.
  3. En déduire sa limite.

Exercice 3Modifier

Soient   une suite, et  .

  1. Montrer que si   et   alors  .
  2. Généralisation. — Soient   une suite et   une famille finie de   sous-suites de même limite  , et dont la réunion des indices,  , est égale à  . Montrer que  .
  3. Pour tout  , on pose   si   est une puissance de   et   sinon. Soit   la partition de l'ensemble   des indices définie par :   est l'ensemble (infini) des entiers   de la forme   multiplié par un entier impair. Montrer que pour tout  , la sous-suite   converge vers 0, mais que la suite   n'a pas de limite.

Exercice 4Modifier

Soient   et   la suite définie par :   (avec la convention du produit vide :  ).

  1. Calculer   en utilisant la formule du sinus de l'angle double :  .
  2. En déduire  .

Exercice 5 : convergence au sens de CesàroModifier

Soit   une suite numérique. On considère la suite  , appelée suite des moyennes de Cesàro, définie par :

 .

On dit que   converge au sens de Cesàro si la suite   converge.

  1. Montrer que si   converge (au sens usuel) vers une limite   alors elle converge au sens de Cesàro vers  .
  2. Montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que la réciproque est fausse.
  3. Montrer que si   est monotone alors   aussi.

Exercice 6Modifier

Soient   et   deux suites de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe deux réels   et   tels que

  et  .

Démontrer que  .

Exercice 7Modifier

(Théorème de Herschfeld)

Pour tous réels   tels que la série   converge et pour tous réels positifs  , montrer que

le radical imbriqué   converge si et seulement si la suite   est majorée.

Exercice 8Modifier

Étudier la convergence des suites

  et  .

Exercice 9Modifier

Soient   et   deux suites. On s'intéresse au comportement de la suite   définie par

 .
  1. Donner un exemple de deux suites   et   n'ayant pas de limite et telles que   converge.
  2. Montrer que si   et   tendent respectivement vers   et   (finies ou infinies) alors   tend vers   (on distinguera les deux cas   et   — le cas restant,  , est analogue).

Exercice 10Modifier

Soit   continue en   et telle que  . Démontrer que  .

Exercice 11Modifier

Étudier la suite récurrente suivante :   et  .

Exercice 12Modifier

On rappelle (cf. Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités#Exercice 2-1) que pour tout  ,

 .

En déduire la limite de la suite

 .

Lien externeModifier

« L1 Analyse → 121 Suites → 121.01 Convergence », sur exo7