Approfondissement sur les suites numériques/Plan d'étude, représentation

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Dans ce chapitre, nous décrivons le plan d'étude général pour les suites récurrentes d'ordre un. Nous montrons également comment donner une représentation de cette étude, qui aide parfois à comprendre le problème étudié.

Plan d'étude, représentation
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Chapitre no 10
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Approximation de réels

Exercices :

Étude d'une suite récurrente
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Plan d'étudeModifier

Étude de ƒModifier

La première grande étape consiste à étudier la fonction qui définit la récurrence, c'est-à-dire l’application ƒ telle que :

 .

On s'attachera alors à étudier les points suivants :

  • Caractère affine de ƒ : il convient tout d’abord de vérifier si ƒ est affine (auquel cas, on utilisera les outils adaptés aux suites arithmético-géométriques) ou non (auquel cas, on utilisera les outils de cette leçon). On peut par exemple repérer le domaine de définition de ƒ : si elle n'est pas définie sur R tout entier, la fonction ne peut pas être affine.
  • Intervalles stables : on peut établir la liste des intervalles stables par ƒ maximaux. Puisqu'un point initialement dans un de ces intervalles y restera, nous pouvons étudier ce cas indépendamment de ce que fait ƒ en dehors.
  • Variations : vérifier — sur chacun des intervalles stables — la continuité (souvent), la dérivabilité (assez souvent), la monotonie (moins souvent) de ƒ fournit des informations pertinentes à son sujet. On peut, de plus, vérifier si ƒ (qu'on sait continue) est k-lipschitzienne, avec k < 1 (ƒ est alors contractante). On étudiera par ailleurs les variations de ƒ(x) - x.

Étude des intervalles stablesModifier

Nous considérons maintenant chacun des intervalles stables trouvés lors de l'étape précédente. On note I l'intervalle stable que nous étudions.

Si ƒ est contractante sur IModifier

Si de plus l'intervalle I est fermé et borné, le théorème suivant s'applique :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Si la fonction ƒ(x) – x est de signe constant sur IModifier

On a alors, si un est dans I :

  • Premier cas : ƒ(x) – x est positive ou nulle, alors la suite est croissante :
     .
  • Second cas : ƒ(x) – x est négative ou nulle, alors la suite est décroissante :
     .

Trois cas se présentent alors si I est fermé :

  • ou bien ƒ n'admet pas de point fixe dans I, donc diverge ;
  • ou bien ƒ admet un point fixe sur I mais n'y converge pas, à cause de la monotonie ;
  • ou bien ƒ admet un point fixe sur I, et y converge.

Si la fonction ƒ est monotone sur IModifier

On dispose dans ce cas d'un autre outil — qu'il ne faut surtout pas confondre avec le précédent — pour étudier la monotonie de la suite :

  • si ƒ est croissante, alors la suite est monotone mais pas nécessairement croissante ; on peut cependant préciser facilement : elle est
  • si ƒ est décroissante, alors la suite est n'est pas monotone mais les deux sous-suites d'indices pairs et d'indices impairs le sont, puisqu'elles sont définies chacune par une récurrence associée à la fonction  , qui est croissante.

Autres intervallesModifier

Le cas des autres intervalle se ramène souvent, à partir d'un certain terme, à celui d'un point dans un intervalle stable.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


ReprésentationModifier

Il est possible de donner une représentation graphique de l'étude d'une suite récurrente d'ordre 1 :

  • on trace la courbe C d'équation y = ƒ(x) ;
  • on trace la droite D d'équation y = x.

Alors, les points d'intersection de C et D correspondent aux points fixes de ƒ — si la suite doit converger, c’est vers l'un de ces points.

  1. On place sur l’axe des abscisses le premier élément u₀.
  2. On trace le segment qui part de ce point et atteint verticalement la courbe C ; on a alors atteint le point (u₀, ƒ(u₀)) c'est-à-dire (u₀, u₁).
  3. On trace le segment qui part de ce point et atteint horizontalement la droite D ; on a alors atteint le point (u₁, u₁).
  4. On recommence à l'étape 2.

Il peut alors se présenter différents cas :

Cas d'une suite convergenteModifier

Si par exemple la suite est croissante et converge, on a un graphe dont l'allure est la suivante :

 

Cas d'une suite qui tend vers l'infiniModifier

Si par exemple la suite est décroissante et diverge, on a un graphe dont l'allure est la suivante :

 

Cas d'une suite sans limite (finie ou infinie)Modifier

Un cas parmi bien d'autres (et dans lequel apparaît un cycle limite) est représenté sur l'image suivante :