Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques

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Suites arithmético-géométriques
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Chapitre no 6
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Relations de comparaison
Chap. suiv. :Récurrence affine d'ordre 2

Exercices :

Suites arithmético-géométriques
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DéfinitionModifier

De telles suites peuvent être entièrement « résolues », c'est-à-dire que l'on sait exprimer « simplement »   en fonction de   (et bien sûr, de  ,   et  ).

C'est l’objet de ce chapitre.

Étude de cas particuliersModifier

Avant de nous lancer dans la « résolution » générale, regardons quelques cas particuliers :

  • si  , il s'agit d'une suite constante à partir de l'indice 1 :   ;
  • si  , il s'agit simplement d'une suite arithmétique de raison  , donc   ;
  • si  , on a une suite géométrique, donc  .

L'idée, dans un premier temps, va être d'observer ce qui se passe pour les premiers termes de la suite.

Les premiers termes de la suiteModifier

 

Il semblerait bien que

 .

Vérifions cette conjecture dans les cas particuliers :

  • si  , notre formule devient   (une somme vide étant nulle par définition) donc elle est toujours vérifiée (y compris si  , avec la convention usuelle 00 = 1) ;
  • si  , elle équivaut, pour tout  , à :   ;
  • si  , elle donne :
      ;
  • si  , elle donne bien  .

Est-ce bon dans le cas général ?

Le cas généralModifier

Réécrivons la formule précédente sous une forme plus compacte :

 

et démontrons qu'elle caractérise bien les suites arithmético-géométriques de paramètres   et  .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Si  , la somme de droite du théorème est une somme géométrique, que l’on sait donc calculer :

 .

Par conséquent :

L'étude du comportement de ces suites est relativement facile à partir de cette expression.