Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes homographiques

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Suites récurrentes homographiques
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Chapitre no 13
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Cycles et chaos
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Exercices :

Suite récurrente homographique
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Suite récurrente homographique réelle

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On considère une suite définie par une relation de récurrence :

 

où a, b, c et d sont des nombres réels.

On notera

 

Changement de variable pour se ramener à une suite géométrique

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Passage en coordonnées projectives

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On appelle droite projective l’ensemble quotient du plan muni d'un repère par la relation d'équivalence :

  ssi  

 

L'application linéaire F du plan dans lui-même définie par

 

induit alors une application de la droite projective dans elle-même

dont la restriction à   n'est autre que la fonction f car en posant :

 

on a :

 

De plus on constate que les vecteurs propres de F correspondent aux points fixes de f car :

 

ssi

 

Cas où F est diagonalisable

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Dans le repère de départ, F a pour matrice :

 

si F est diagonalisable de valeurs propres   et  , on a :

 
 

  • P est la matrice de passage de l'ancienne base à celle des vecteurs propres (ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres dans l'ancienne base).
  • U est le vecteur colonne des coordonnées dans l'ancienne base.
  • V est le vecteur colonne des coordonnées dans la base des vecteurs propres.

Notons :

 

alors

 

et par passage au quotient projectif :

 .

Retour à la suite récurrente

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En adoptant les mêmes notations,

 

la suite   est donc géométrique de raison  

On peut donc en conclure que si :

 

en posant :

 

on obtient une suite géométrique  .

Avec les points fixes

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De plus, en choisissant le premier vecteur propre de seconde coordonnée 1 et le second vecteur propre de seconde coordonnée -1, on aura :

 

  et   sont les points fixes de f.

et donc :

 

donc en particulier si l’on pose :

 

on obtient une suite géométrique  .