Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes homographiques
Suite récurrente homographique réelle
modifierOn considère une suite définie par une relation de récurrence :
où a, b, c et d sont des nombres réels.
On notera
Changement de variable pour se ramener à une suite géométrique
modifierPassage en coordonnées projectives
modifierOn appelle droite projective l’ensemble quotient du plan muni d'un repère par la relation d'équivalence :
ssi
L'application linéaire F du plan dans lui-même définie par
induit alors une application de la droite projective dans elle-même
dont la restriction à n'est autre que la fonction f car en posant :
on a :
De plus on constate que les vecteurs propres de F correspondent aux points fixes de f car :
ssi
Cas où F est diagonalisable
modifierDans le repère de départ, F a pour matrice :
si F est diagonalisable de valeurs propres et , on a :
où
- P est la matrice de passage de l'ancienne base à celle des vecteurs propres (ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres dans l'ancienne base).
- U est le vecteur colonne des coordonnées dans l'ancienne base.
- V est le vecteur colonne des coordonnées dans la base des vecteurs propres.
Notons :
alors
et par passage au quotient projectif :
- .
Retour à la suite récurrente
modifierEn adoptant les mêmes notations,
la suite est donc géométrique de raison
On peut donc en conclure que si :
en posant :
on obtient une suite géométrique .
Avec les points fixes
modifierDe plus, en choisissant le premier vecteur propre de seconde coordonnée 1 et le second vecteur propre de seconde coordonnée -1, on aura :
où et sont les points fixes de f.
et donc :
donc en particulier si l’on pose :
on obtient une suite géométrique .