Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suite récurrente homographique

Exercice 1

On considère la fonction homographique $f$ définie par

$f(x)={\frac {3x+2}{x+4}}$ (pour $x\neq -4$).

1. Déterminer ses points fixes.
2. On pose $h(x)={\frac {x-1}{x+2}}$ (pour $x\neq -2$). Démontrer qu'il existe une constante $k$ telle que $h(f(x))=kh(x)$ (pour tout $x\notin \{-4,-2\}$).
3. Pour $y\neq 1$, déterminer $x$ tel que $h(x)=y$.
4. Déterminer l'ensemble $D$ des réels $a\neq -2$ tels que $a$ et toutes ses images successives par $f$ soient différents de $-4$.
5. Soit $a\in D$. On définit une suite $(u_{n})$ par : $u_{0}=a$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=f(u_{n})$. Démontrer que la suite $v_{n}:=h(u_{n})$ est géométrique et tend vers 0.
6. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, ainsi que ses variations et sa limite.

Solution

1. Soit $x\neq -4$. $f(x)=x\Leftrightarrow 3x+2=x(x+4)\Leftrightarrow x^{2}+x-2=0\Leftrightarrow x\in \{1,-2\}$.
2. $h(f(x))={\frac {{\frac {3x+2}{x+4}}-1}{{\frac {3x+2}{x+4}}+2}}={\frac {3x+2-(x+4)}{3x+2+2(x+4)}}={\frac {2x-2}{5x+10}}=kh(x)$ pour $k={\frac {2}{5}}$.
3. $y={\frac {x-1}{x+2}}\Leftrightarrow x={\frac {1+2y}{1-y}}$
4. $f^{n}(a)\neq -4\Leftrightarrow k^{n}h(a)\neq h(-4)\Leftrightarrow h(a)\neq k^{-n}{\frac {5}{2}}=k^{-n-1}$. Donc $D$ est l'ensemble des réels différents de $-2$ et de ${\frac {1+2k^{-m}}{1-k^{-m}}}={\frac {2+k^{m}}{-1+k^{m}}}$ pour tout $m\in \mathbb {N} ^{*}$. Remarquons que cette suite à éviter tend vers $-2$ et que son premier terme est bien ${\frac {2+k}{-1+k}}=-4$.
5. $v_{n}=k^{n}v_{0}\to 0$ car $k={\frac {2}{5}}\in \left]-1,1\right[$.
6. $u_{n}={\frac {1+2v_{n}}{1-v_{n}}}={\frac {1+2k^{n}v_{0}}{1-k^{n}v_{0}}}\to 1$. La monotonie de $v_{n}$ et $u_{n}$ dépend du signe de $v_{0}={\frac {a-1}{a+2}}$. Si $v_{0}<0$, c.-à-d. si $-2<a<1$, alors $(v_{n})$ est négative et croissante donc (comme $y\mapsto {\frac {1+2y}{1-y}}$ est croissante sur $\left]-\infty ,1\right[$) $(u_{n})$ est croissante. Si $v_{0}>0$, $(v_{n})$ est positive et décroissante donc dès qu'elle devient < 1, $(u_{n})$ devient décroissante (ceci a lieu dès le début si $a>1$, et à partir d'un certain rang si $a<-2$). Enfin, si $a=1$, $u_{n}=1$.