Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suite récurrente homographique

Suite récurrente homographique
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Exercices no6
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Suites récurrentes homographiques

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Ensemble de Mandelbrot
Exo suiv. :Convergence
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suite récurrente homographique
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Exercice 1

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On considère la fonction homographique   définie par

  (pour  ).
  1. Déterminer ses points fixes.
  2. On pose   (pour  ). Démontrer qu'il existe une constante   telle que   (pour tout  ).
  3. Pour  , déterminer   tel que  .
  4. Déterminer l'ensemble   des réels   tels que   et toutes ses images successives par   soient différents de  .
  5. Soit  . On définit une suite   par :   et  . Démontrer que la suite   est géométrique et tend vers 0.
  6. En déduire l'expression de   en fonction de  , ainsi que ses variations et sa limite.