En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Suite récurrente homographique Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suite récurrente homographique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On pose (pour ). Démontrer qu'il existe une constante telle que (pour tout ).
Pour , déterminer tel que .
Déterminer l'ensemble des réels tels que et toutes ses images successives par soient différents de .
Soit . On définit une suite par : et . Démontrer que la suite est géométrique et tend vers 0.
En déduire l'expression de en fonction de , ainsi que ses variations et sa limite.
Solution
Soit . .
pour .
. Donc est l'ensemble des réels différents de et de pour tout . Remarquons que cette suite à éviter tend vers et que son premier terme est bien .
car .
. La monotonie de et dépend du signe de . Si , c'est-à-dire si , alors est négative et croissante donc (comme est croissante sur ) est croissante. Si , est positive et décroissante donc dès qu'elle devient < 1, devient décroissante (ceci a lieu dès le début si , et à partir d'un certain rang si ). Enfin, si , .