Arithmétique/PPCM

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Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non tous deux nuls. Nous allons définir leur PPCM à partir de leur PGCD, $d:=\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)$, et déduire ses propriétés de celles de $d$, à commencer par la suivante :

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Les deux entiers $a'$ et $b'$ définis par $a=da'$ et $b=db'$ sont premiers entre eux et ${\frac {ab}{d}}=a'b'd=ab'=ba'$.

Définition

Définition

Le PPCM (plus petit multiple commun) à $a$ et $b$ est l'entier

$\operatorname {ppcm} \left(a,b\right):={\frac {\left|ab\right|}{\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)}}$.

Remarques

• Le théorème ci-dessous justifiera cette appellation.
• $\operatorname {ppcm} \left(a,b\right)=\operatorname {ppcm} \left(\left|a\right|,\left|b\right|\right)$.
• Avec les notations ci-dessus, on a $\left|a'b\right|=\left|ab'\right|=\operatorname {ppcm} \left(a,b\right)$.

Théorème

Début d’un théorème

Théorème

Les multiples communs à $a$ et $b$ sont les multiples de $\operatorname {ppcm} \left(a,b\right)$.

En particulier, $\operatorname {ppcm} \left(a,b\right)$ est le plus petit entier strictement positif divisible à la fois par $a$ et par $b$.

Fin du théorème

Démonstration

Soient $d=\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)$ et $m=ab/d$. Il s'agit de montrer que les multiples communs à $a$ et $b$ sont les multiples de $m$.

Pour tout entier $n$, on a bien :

$\left(a\mid n\quad {\text{et}}\quad b\mid n\right)\Leftrightarrow \left(ab\mid nb\quad {\text{et}}\quad ab\mid an\right)\Leftrightarrow ab\mid \operatorname {pgcd} \left(an,bn\right)\Leftrightarrow md\mid nd\Leftrightarrow m\mid n$.

 

Propriétés

Chaque propriété du PGCD fournit, d'après la définition ci-dessus, une propriété correspondante pour le PPCM. Par exemple :

Propriété

Si l’on multiplie deux entiers non tous deux nuls par un même entier k > 0, leur PPCM est multiplié par k, c'est-à-dire :

$\operatorname {ppcm} \left(ka,kb\right)=k\times \operatorname {ppcm} \left(a,b\right)$.

Démonstration

$\operatorname {ppcm} \left(ka,kb\right)={\frac {\left|ka\ kb\right|}{\operatorname {pgcd} \left(ka,kb\right)}}={\frac {k^{2}\left|ab\right|}{k\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)}}=k\times {\frac {\left|ab\right|}{\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)}}=k\times \operatorname {ppcm} \left(a,b\right)$.

(Pour un énoncé plus précis dans un anneau quelconque, voir l'exercice 4 de la leçon sur les anneaux.)

 

Décomposition en facteur premiers

On prend tous les facteurs intervenant dans les décompositions, chacun d'entre eux à son plus grand exposant.

Début de l'exemple

Exemple

$a=60\qquad a=2^{2}\times 3\times 5$

$b=48\qquad b=2^{4}\times 3$

$\operatorname {ppcm} \left(a,b\right)=2^{4}\times 3\times 5$

Fin de l'exemple