Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

Exercices
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Exercices no1
Leçon : Anneau (mathématiques)

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Étude de l'anneau Z8
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Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices
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Exercice 1Modifier

Soit A un anneau tel que  .

  1. Montrer que  .
  2. En déduire que A est commutatif.

Exercice 2Modifier

Soient   un anneau et   tels que   soit inversible. Montrer que   est inversible.

Exercice 3Modifier

Soient A un anneau intègre et a un élément non nul de A.

  1. Dans l'anneau de polynômes A[X], montrer que le seul idéal principal contenant a et X est l'anneau A[X] tout entier.
  2. Montrer que si l'idéal (X, a) est égal à A[X] alors a est inversible.
  3. En déduire que si a n'est pas inversible alors l'idéal (X, a) n'est pas principal.
  4. En déduire que si A n'est pas un corps alors l'anneau A[X] n'est pas principal.

Exercice 4Modifier

Dans un anneau commutatif intègre, montrer que pour toute famille non vide   d'éléments et pour tout élément non nul   :

  •   existe si et seulement si   existe ;
  • dans ce cas,  .

Exercice 5Modifier

On se place dans un anneau (commutatif, intègre) à PGCD, c'est-à-dire dans lequel deux éléments non nuls   et   possèdent toujours un ppcm, noté  , donc aussi un pgcd,  . On note   la relation d'association (deux éléments sont associés si l'un est produit de l'autre par un inversible).

On rappelle que le pgcd vérifie :  .

On va démontrer, pour tous éléments non nuls  ,   et   :

 .

  Montrer que le membre de gauche est associé à   et celui de droite à  .

  Vérifier que   et   sont associés, en développant chacun d'eux en un pgcd de monômes.

  A-t-on également

  ?

Exercice 6Modifier

Montrer que dans un anneau principal, le pgcd d'une famille quelconque d'éléments est toujours égal au pgcd d'une sous-famille finie.

Exercice 7Modifier

Soient   et   deux éléments d'un anneau, tels que :

  •   ;
  •  .

Montrer que :

  1.  
  2.  
  3.   est inversible, d'inverse  .

Exercice 8Modifier

Soient   et   deux éléments inversibles d'un anneau, tels que   et  . Montrer que :

  1.   ;
  2.   ;
  3.  .

Exercice 9Modifier

Soit   un anneau commutatif. On note  .

  1. Vérifier que  .
  2. On pose  . Montrer que   est une loi de composition interne sur   et que   est un anneau commutatif unitaire.

Exercice 10Modifier

 
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Wikipédia possède un article à propos de « Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques ».

Soient un entier   et   les deux solutions complexes de  . On désigne par   l'ensemble des nombres complexes de la forme   .

  1. Calculer   et  .
  2. Montrer que   est un sous-anneau de   stable par conjugaison.
  3. Montrer que  .
  4. Montrer qu'un élément   est inversible dans   si et seulement si  .
  5. En déduire que les seuls éléments inversibles de   sont   et  .

Exercice 11Modifier

Soit   un corps commutatif. Dans l'anneau  , on note   les classes de  .

Vérifier que   et   sont associés, puis montrer qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre par un élément inversible de l'anneau.

Référence : Daniel Perrin, Cours d'algèbre, remarque II.3.7

Dans l'anneau  , on note   et   les classes de   et  .

Vérifier que   et   sont associés, puis montrer qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre par un élément inversible de l'anneau.

Exercice 12Modifier

Dans l'anneau  , soit   l'idéal des fonctions nulles en 0.

  1. Soient  . Montrer que tout élément   de l'idéal   vérifie   au voisinage de 0.
  2. En déduire que   n'est pas de type fini (ce qui prouve que   n'est pas noethérien).
  3. Montrer que  .
  4. Montrer que   ne contient aucun élément irréductible.
  5. Montrer que si deux éléments de   n'ont pas de zéro commun, alors ils sont premiers entre eux.
  6. Montrer que dans  , si deux éléments   ont un pgcd  , alors   (l'ensemble des zéros de  ) est égal à   et  .

Soient   un espace compact et   l'anneau des fonctions continues de   dans  . On note   (pour  ), et   (pour  ).

  1. Montrer que   est un idéal maximal de  .
  2. Quels sont les éléments inversibles de   ?
  3. Soient   un idéal de   et  . Montrer que si  , il existe   telles que  . Que peut-on dire alors de   ? En déduire que  .
  4. En déduire que tout idéal maximal de   est de la forme  .
  5. Si   est infini, soit   un point d'accumulation de  . Montrer par l'absurde que   n'est pas de type fini. (Indication : si   et  , montrer que  , pour en déduire une contradiction.)

Exercice 13Modifier

Dans l'anneau  , montrer que   est irréductible, mais pas premier. (Ceci prouvera que cet anneau n'est pas factoriel.)

Exercice 14Modifier

Quel est le noyau du morphisme   ?

Exercice 15Modifier

Démontrer que  .

Soit  .

  1. Montrer que  .
  2. Montrer que   n'est pas un idéal premier de  .
  3. Montrer que  .

Exercice 16Modifier

Soit   un corps commutatif. Déterminer les éléments inversibles et les idéaux (principaux et autres) de l'anneau  .

Exercice 17Modifier

Soit   l'idéal de   engendré par   et  . Donner un isomorphisme entre   et  .

Exercice 18Modifier

On suppose connu l'anneau   (euclidien) et l'on se propose d'étudier les idéaux premiers de  .

  1. Montrer que   est noethérien
  2. Soit   un idéal non nul de  . Montrer que   et en déduire que  .
  3. On suppose de plus   premier. Montrer que   est de la forme    est un nombre premier. Montrer que   est maximal.
  4. Montrer que les idéaux premiers non nuls de   sont
    • les   avec   élément irréductible de  
    • les   avec   élément irréductible de  , et   irréductible modulo   (c.-à-d. d'image irréductible dans  ).
  5. Soit   un idéal maximal de   contenant  .
    1. Montrer que   est de la forme   avec   élément irréductible de   et   irréductible modulo  , ou alors   avec   élément irréductible de   et   racine de   modulo  .
    2. En déduire l'allure des idéaux premiers non nuls de  .
  6. Applications à   et   : dans les deux cas, montrer que   est premier. Montrer que   est un corps à   éléments et que  .

Exercice 19Modifier

Soit A un anneau non nul. On suppose que pour tout élément   non nul de A, il existe un élément   de A tel que   Prouver que A est un corps.

Indication : on peut prouver que les éléments non nuls de A forment un monoïde pour la multiplication et, à l'aide du Problème 2 de la page Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes, que ce monoïde est un groupe.

Remarque. L'énoncé de cet exercice servira dans la solution d'un exercice de la page Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension.

Exercice 20Modifier

Soient   un corps commutatif et   dans  . On veut montrer que l'idéal   est premier et que   ne peut admettre moins de trois générateurs.

  1. Soient   le morphisme défini par  , et  . Vérifier que   est premier et contient  .
  2. Montrer que les seuls   tels que   sont  .
  3. Soit  . Soit  , avec  , le reste de la division euclidienne de   par   dans  , puis   et  , avec  , les restes des divisions euclidiennes de   par   dans  .
    1. Montrer que   si et seulement si  .
    2. En déduire que   (utiliser (2)), ce qui prouve que   est premier.
  4. Soit  , idéal maximal de  . La structure d'idéal de   (idéal de  ) induit sur   une structure de  -espace vectoriel, dont la dimension est majorée par  . Montrer que cette dimension est exactement 3 (ce qui prouvera que   ne peut avoir moins de trois générateurs). Pour cela, montrer que l'image dans   du triplet   est  -libre.