Barycentre/Exercices/Barycentre dans un triangle

Isobarycentre d’un triangle

Soit G le barycentre des points (A ; 1), (B ; 1) et (C ; 1). Puisque les points ont le même poids, on parle d’isobarycentre.

1. Écrire la relation fondamentale définissant le point G.
2. En introduisant le point A dans la relation fondamentale, trouver une relation vectorielle permettant de construire le point G.
3. Soit I le milieu de [BC]. Exprimer cette propriété vectoriellement.
4. Exprimer ${\overrightarrow {\rm {AI}}}$ en fonction de ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {BC}}}$.
5. Exprimer ${\overrightarrow {\rm {AG}}}$ en fonction de ${\overrightarrow {\rm {AI}}}$.
6. Placer dans un repère orthonormé d’unité 1 cm les points A(-1;3) ; B(2;4) et C(1;-4). Construire leur isobarycentre en utilisant la formule précédente.
7. Déterminer les coordonnées de G en utilisant la formule de la question 2.

La notion de barycentre est importante en mécanique du solide (la partie de la physique qui prévoie les mouvements d’un solide en fonction des forces qui agissent dessus) car elle est la forme géométrique de la notion de « moyenne », ainsi, elle permet de définir le centre de masse, ou de gravité, ou d’inertie d’un solide, qui est nécessaire pour prévoir ses mouvements.

Solution

1. $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$ avec $\alpha =\beta =\gamma =1$ donc :

   ${\overrightarrow {\rm {GA}}}+{\overrightarrow {\rm {GB}}}+{\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$

2. D’après la relation de Chasles, ${\overrightarrow {\rm {GB}}}={\overrightarrow {\rm {GA}}}+{\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {GC}}}={\overrightarrow {\rm {GA}}}+{\overrightarrow {\rm {AC}}}$. On obtient :

   ${\overrightarrow {\rm {GA}}}+\left({\overrightarrow {\rm {GA}}}+{\overrightarrow {\rm {AB}}}\right)+\left({\overrightarrow {\rm {GA}}}+{\overrightarrow {\rm {AC}}}\right)={\vec {0}}$

   En regroupant les termes ${\overrightarrow {\rm {GA}}}$ :

   $3{\overrightarrow {\rm {GA}}}+{\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {AC}}}={\vec {0}}$

   ${\overrightarrow {\rm {GA}}}={\frac {1}{3}}\left({\overrightarrow {\rm {BA}}}+{\overrightarrow {\rm {CA}}}\right)$

   ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {1}{3}}\left({\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {AC}}}\right)$

3. ${\overrightarrow {\rm {BI}}}={\frac {1}{2}}\,{\overrightarrow {\rm {BC}}}$
4. D’après la relation de Chasles, ${\overrightarrow {\rm {AI}}}={\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {BI}}}={\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\frac {1}{2}}\,{\overrightarrow {\rm {BC}}}$
5. G est le centre de gravité du triangle ABC et $({\rm {AI}})$ est une médiane de ce triangle, donc ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {\rm {AI}}}$
6. 
7. On a ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {1}{3}}\left({\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {AC}}}\right)$

• ${\overrightarrow {\rm {AB}}}{\begin{array}{|l}3\\1\end{array}}$
• ${\overrightarrow {\rm {AC}}}{\begin{array}{|l}2\\-7\end{array}}$
• ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {1}{3}}\left({\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {AC}}}\right)={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{array}{|l}5\\-6\end{array}}={\begin{array}{|l}{\frac {5}{3}}\\-2\end{array}}$

À partir des coordonnées de A et de ${\overrightarrow {\rm {AG}}}$, on peut placer le point G : ${\rm {G}}\left(-1+{\frac {5}{3}},3-2\right)$

Finalement ${\rm {G}}\left({\frac {2}{3}},1\right)$

---

Note : Si l'on ne disposait pas de l'égalité de la question 2, on pouvait placer directement le barycentre directement à partir des coordonnées des points en utilisant les formules des coordonnées du barycentre. La méthode est développée ci-dessous :

Les coordonnées du barycentre ${\rm {G}}(x_{G},y_{G})$ du système de points A, B, et C de même coefficients 1 sont :

${\begin{cases}\displaystyle {x_{G}={\frac {x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}}}\\y_{G}=\displaystyle {\frac {y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}}\\\end{cases}}$

Application numérique :

${\begin{cases}\displaystyle {x_{G}={\frac {-1+2+1}{3}}}={\frac {2}{3}}\\y_{G}=\displaystyle {\frac {3+4-4}{3}}=1\\\end{cases}}$

Donc ${\rm {G}}\left({\frac {2}{3}},1\right)$.

 

Barycentre d'un triangle

Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, on donne les points :

$A(-1,2)$, $B(3,5)$ et $C(-2,3)$.

Soit $G$ le barycentre de $\left((A,2),(B,-3),(C,4)\right)$.

1. Exprimer ${\overrightarrow {BG}}$ en fonction de ${\overrightarrow {BA}}$ et ${\overrightarrow {BC}}$.
2. Faire un figure et construire $G$.
3. Calculer les coordonnées de $G$ (vérifier sur la figure a posteriori).

Solution

1. ${\overrightarrow {BG}}={\frac {2{\overrightarrow {BA}}-3{\overrightarrow {BB}}+4{\overrightarrow {BC}}}{2-3+4}}={\frac {2{\overrightarrow {BA}}+4{\overrightarrow {BC}}}{3}}$.
2. 
3. ${\frac {2(-1,2)-3(3,5)+4(-2,3)}{3}}={\frac {\left(-2-9-8,4-15+12\right)}{3}}=\left(-{\frac {19}{3}},{\frac {1}{3}}\right)$.

 

Barycentres dans un triangle

Soit $ABC$ un triangle. On considère barycentres respectifs $D$, $E$ et $F$ de

$\left((A,1),(B,1)\right)$, $\left((A,3),(C,-1)\right)$ et $\left((B,3),(C,1)\right)$.

1. Démontrer que $E$ est le barycentre de $\left((D,3),(F,-2)\right)$.
2. En déduire que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés.

Solution

1. ${\frac {3D-2F}{3-2}}=3{\frac {A+B}{2}}-2{\frac {3B+C}{4}}={\frac {3A-C}{2}}=E$.
2. Immédiat.