Barycentre/Exercices/Détermination de barycentres de deux points

Poids positifs

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O,{\vec {i}},{\vec {j}}\right)$ orthonormé d'unité 1 cm, on donne les points

$A\left(2,3\right)$ et $B\left(7,-2\right)$.

Soit $G$ le barycentre de $\left((A,2),(B,3)\right)$.

1. Exprimer ${\overrightarrow {AG}}$ en fonction de ${\overrightarrow {AB}}$.
2. Construire $G$.
3. Déterminer les coordonnées de $G$ (vérifier sur la figure a posteriori).

Solution

1. ${\overrightarrow {AG}}={\frac {2{\overrightarrow {AA}}+3{\overrightarrow {AB}}}{2+3}}={\frac {3}{5}}{\overrightarrow {AB}}$.
2. Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?
3. ${\frac {2\left(2,3\right)+3\left(7,-2\right)}{5}}={\frac {\left(4+21,6-6\right)}{5}}=\left(5,0\right)$.

 

Barycentre de deux points

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O,{\vec {i}},{\vec {j}}\right)$ d'unité 1 cm, on donne les points

$A\left(2,3\right)$ et $B\left(7,-2\right)$.

Soit $G$ le barycentre de $\left((A,-2),(B,3)\right)$.

1. Exprimer ${\overrightarrow {AG}}$ en fonction de ${\overrightarrow {AB}}$.
2. Construire $G$.
3. Déterminer les coordonnées de $G$ (vérifier sur la figure a posteriori).
4. Mêmes questions pour le barycentre $G'$ de $\left((A,2),(B,-3)\right)$.

Solution

1. ${\overrightarrow {AG}}={\frac {-2{\overrightarrow {AA}}+3{\overrightarrow {AB}}}{-2+3}}=3{\overrightarrow {AB}}$.
2. Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?
3. $-2\left(2,3\right)+3\left(7,-2\right)=\left(-4+21,-6-6\right)=\left(17,-12\right)$.
4. Lorsqu'on multiplie tous les poids par une même constante non nulle, le barycentre ne change pas, donc $G'=G$.

 

Cas général

Dans le plan (muni d'un repère), on donne les points

$A\left(-2,3\right)$ et $B\left(7,-2\right)$.

Déterminer les coordonnées du barycentre de $\left((A,-2),(B,3)\right)$.

Solution

${\frac {-2\left(-2,3\right)+3\left(7,-2\right)}{-2+3}}=\left(4+21,-6-6\right)=\left(25,-12\right)$.