En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Détermination de barycentres de deux pointsBarycentre/Exercices/Détermination de barycentres de deux points », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé
(
O
,
i
→
,
j
→
)
{\displaystyle \left(O,{\vec {i}},{\vec {j}}\right)}
cm
A
(
2
,
3
)
{\displaystyle A\left(2,3\right)}
B
(
7
,
−
2
)
{\displaystyle B\left(7,-2\right)}
Soit
G
{\displaystyle G}
(
(
A
,
2
)
,
(
B
,
3
)
)
{\displaystyle \left((A,2),(B,3)\right)}
Exprimer
A
G
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AG}}}
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
Construire
G
{\displaystyle G}
Déterminer les coordonnées de
G
{\displaystyle G}
a posteriori ).
Solution
A
G
→
=
2
A
A
→
+
3
A
B
→
2
+
3
=
3
5
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AG}}={\frac {2{\overrightarrow {AA}}+3{\overrightarrow {AB}}}{2+3}}={\frac {3}{5}}{\overrightarrow {AB}}}
2
(
2
,
3
)
+
3
(
7
,
−
2
)
5
=
(
4
+
21
,
6
−
6
)
5
=
(
5
,
0
)
{\displaystyle {\frac {2\left(2,3\right)+3\left(7,-2\right)}{5}}={\frac {\left(4+21,6-6\right)}{5}}=\left(5,0\right)}
Dans le plan muni d'un repère orthonormé
(
O
,
i
→
,
j
→
)
{\displaystyle \left(O,{\vec {i}},{\vec {j}}\right)}
cm
A
(
2
,
3
)
{\displaystyle A\left(2,3\right)}
B
(
7
,
−
2
)
{\displaystyle B\left(7,-2\right)}
Soit
G
{\displaystyle G}
(
(
A
,
−
2
)
,
(
B
,
3
)
)
{\displaystyle \left((A,-2),(B,3)\right)}
Exprimer
A
G
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AG}}}
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
Construire
G
{\displaystyle G}
Déterminer les coordonnées de
G
{\displaystyle G}
a posteriori ).
Mêmes questions pour le barycentre
G
′
{\displaystyle G'}
(
(
A
,
2
)
,
(
B
,
−
3
)
)
{\displaystyle \left((A,2),(B,-3)\right)}
Solution
A
G
→
=
−
2
A
A
→
+
3
A
B
→
−
2
+
3
=
3
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AG}}={\frac {-2{\overrightarrow {AA}}+3{\overrightarrow {AB}}}{-2+3}}=3{\overrightarrow {AB}}}
−
2
(
2
,
3
)
+
3
(
7
,
−
2
)
=
(
−
4
+
21
,
−
6
−
6
)
=
(
17
,
−
12
)
{\displaystyle -2\left(2,3\right)+3\left(7,-2\right)=\left(-4+21,-6-6\right)=\left(17,-12\right)}
Lorsqu'on multiplie tous les poids par une même constante non nulle, le barycentre ne change pas, donc
G
′
=
G
{\displaystyle G'=G}
Dans le plan (muni d'un repère), on donne les points
A
(
−
2
,
3
)
{\displaystyle A\left(-2,3\right)}
B
(
7
,
−
2
)
{\displaystyle B\left(7,-2\right)}
Déterminer les coordonnées du barycentre de
(
(
A
,
−
2
)
,
(
B
,
3
)
)
{\displaystyle \left((A,-2),(B,3)\right)}
Solution
−
2
(
−
2
,
3
)
+
3
(
7
,
−
2
)
−
2
+
3
=
(
4
+
21
,
−
6
−
6
)
=
(
25
,
−
12
)
{\displaystyle {\frac {-2\left(-2,3\right)+3\left(7,-2\right)}{-2+3}}=\left(4+21,-6-6\right)=\left(25,-12\right)}
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