Barycentre/Exercices/Isobarycentre du tétraèdre

On considère dans l'espace le tétraèdre ABCD.
Soit G son centre de gravité, c'est-à-dire le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},1);({\rm {B}},1);({\rm {C}},1);({\rm {D}},1)\}$

1 On introduit les points suivants :

• I est le milieu de [AB],
• J est le milieu de [CD],
• K est le milieu de [BC],
• L est le milieu de [BD],
• M est le milieu de [AC],
• N est le milieu de [AD].

Grâce au théorème de l'associativité du barycentre, vérifier que G s'écrit aussi comme barycentre de I et J.

G est le barycentre du système de points pondérés $\,\{({\rm {I}},$ $);\,({\rm {J}},$ $)\}$

2 Que représente G pour le segment [IJ] ?

G est du segment [IJ].

3 Citer deux autres segments dont G est aussi le milieu.

G est également le milieu des segments et .

4 O désigne le centre de gravité du triangle BCD. Écrire, à l'aide du théorème de l'associativité du barycentre, G comme barycentre des points A et O.

G est le barycentre du système de points pondérés $\,\{({\rm {A}},$ $);\,({\rm {O}},$ $)\}$

5 Exprimer ${\overrightarrow {\rm {AG}}}$ en fonction de ${\overrightarrow {\rm {AO}}}$.

${\overrightarrow {\rm {AG}}}=$ ${\overrightarrow {\rm {AO}}}$

6 Compléter alors la phrase :

« G est situé aux du segment [AO] en partant de A ».

On donne parfois le nom de médiane du tétraèdre à la droite (AO) ou au segment [AO]. Connaît-on une propriété similaire pour le centre de gravité et les médianes d'un triangle ?

Solution

Les médianes d'un triangle sont concourantes en un point, qui est appelé le centre de gravité du triangle. Il est connu que ce centre de gravité est localisé aux deux tiers des médianes en partant des sommets.

Par exemple, dans le cas de la base du tétraèdre considéré dans cet exercice, le centre de gravité O du triangle BCD est le point de concourance des médianes (BJ), (CL) et (DK). On a de plus ${\overrightarrow {\rm {BO}}}={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {\rm {BJ}}}$, ${\overrightarrow {\rm {CO}}}={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {\rm {CL}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {DO}}}={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {\rm {DK}}}$.