Barycentre/Travail pratique/Associativité du barycentre et moyenne pondérée

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Ressources liées

Consulter également :

• Théorème de l'associativité du barycentre
• Coordonnées du barycentre et moyenne pondérée
• Théorème de l'associativité du barycentre sur Wikibooks

Activité

Pierre, un élève, désire surveiller sa moyenne de mathématiques. À ce jour, il a reçu deux notes :

• Note du devoir A : un 13,5/20 coefficient 2
• Note du devoir B : un 11/20 coefficient 3

1. Quelle est sa moyenne ?

On tiendra bien sûr compte des coefficients.

Solution

${\begin{aligned}{\rm {Moyenne}}&={\frac {\rm {Somme~des~(Notes\times Coefficients)}}{\rm {Somme~des~Coefficients}}}\\&={\frac {13,5\times 2+11\times 3}{2+3}}\\&={\frac {27+33}{5}}={\frac {60}{5}}=12\end{aligned}}$

Sa moyenne est donc actuellement de 12.

 

Deux semaines passent, et Pierre reçoit une autre note : un 6/20, coefficient 1. Inquiet, il décide alors de recalculer sa nouvelle moyenne.

2. Recalculer sa nouvelle moyenne, toujours en tenant compte des coefficients, en refaisant le calcul complet.

• Note du devoir A : un 13,5/20 coefficient 2
• Note du devoir B : un 11/20 coefficient 3
• Note du devoir C : un 6/20 coefficient 1

Solution

${\begin{aligned}{\rm {Moyenne}}&={\frac {\rm {Somme~des~(Notes\times Coefficients)}}{\rm {Somme~des~Coefficients}}}\\&={\frac {13,5\times 2+11\times 3+6\times 1}{2+3+1}}\\&={\frac {27+33+6}{6}}={\frac {66}{6}}=11\end{aligned}}$

Sa moyenne est donc maintenant de 11.

 

L'enseignant, de son côté, met également à jour dans son carnet les moyennes de ses élèves, mais s'y prend autrement. Il sait que la moyenne de Pierre était auparavant de 12, après un devoir de coefficient 2 et un devoir de coefficient 3.

Pour faire le calcul de la nouvelle moyenne de Pierre, il va considérer directement que Pierre avait déjà une moyenne de 12 avec des devoirs dont la somme des coefficients valait 5 (coefficient 2 au premier devoir et coefficient 3 au deuxième devoir) avant de recevoir son 6/20.

3. Faire le calcul de la moyenne de Pierre comme l'enseignant, en comptant la moyenne comme une note. Que remarquez-vous ?

• Moyenne avant le devoir C : 12/20 « coefficient » 5
• Note du devoir C : un 6/20 coefficient 1

Solution

${\begin{aligned}{\rm {Nouvelle~moyenne}}&={\frac {\rm {Somme~des~(Notes\times Coefficients)}}{\rm {Somme~des~Coefficients}}}\\&={\frac {12\times 5+6\times 1}{5+1}}\\&={\frac {60+6}{6}}={\frac {66}{6}}=11\end{aligned}}$

On retrouve la moyenne de 11 calculée par Pierre.

 

Ainsi, les barycentres se comportent comme les moyennes pondérées en statistiques.

Statistiques : Méthode 1	Statistiques : Méthode 2	Barycentre : Méthode 1	Barycentre : Méthode 2
Note A Coefficient a	Moyenne pondérée de A et B Coefficient a+b	Point A Coefficient α	H barycentre de $\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\}$ Coefficient α+β
Note B Coefficient b		Point B Coefficient β
Note C Coefficient c	Note C Coefficient c	Point C Coefficient γ	Point C Coefficient γ
Même moyenne pondérée		G barycentre de $\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta );({\rm {C}},\gamma )\}$ et de $\{({\rm {H}},\alpha +\beta );({\rm {C}},\gamma )\}$

Ce parallèle aide souvent à bien visualiser la propriété d'associativité du barycentre. Ceci est utile par exemple lorsqu'on ajoute un nouvel élément à un système physique complexe existant, et qu’il faut déterminer le nouveau centre de gravité.

Le barycentre est ainsi l'analogue en géométrique de la moyenne pondérée en statistiques.