Barycentre/Travail pratique/Théorème de l'associativité du barycentre

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Activité d’introduction

Démonstration de l'associativité du barycentre

Soient :

• A, B, C trois points
• $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ trois réels vérifiant :
  • $\alpha +\beta \neq 0$
  • $\alpha +\beta +\gamma \neq 0$
• H le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\}$
• G le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta );({\rm {C}},\gamma )\}$

1. Écrire les définitions vectorielles de ces deux barycentres.

Solution

Par définition de H : $\alpha {\overrightarrow {\rm {HA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {HB}}}={\vec {0}}$

Par définition de G : $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$

 

2. En introduisant le point H dans la définition de G, montrer que $(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {GH}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$

Solution

On utilise la relation de Chasles :

$\alpha ({\overrightarrow {\rm {GH}}}+{\overrightarrow {\rm {HA}}})+\beta ({\overrightarrow {\rm {GH}}}+{\overrightarrow {\rm {HB}}})+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$

donc $(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {GH}}}+\alpha {\overrightarrow {\rm {HA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {HB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$

Or, par définition de H : $\alpha {\overrightarrow {\rm {HA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {HB}}}={\vec {0}}$

Finalement $(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {GH}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$

 

3. En déduire que G est un barycentre des points H et C avec des coefficients à déterminer.

Solution

De $(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {GH}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$, on voit que G apparaît comme barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {H}},\alpha +\beta );({\rm {C}},\gamma )\}$

 

Application

Soient :

• A, B et C trois points,
• G le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},2);({\rm {B}},3);({\rm {C}},1)\}$,
• H₁ le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},2);({\rm {B}},3)\}$
• H₂ le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {B}},3);({\rm {C}},1)\}$
• H₃ le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},2);({\rm {C}},1)\}$

Ces barycentres existent car :

• Pour G : 2+3+1≠0
• Pour H₁ : 2+3 ≠ 0
• Pour H₂ : 3+1 ≠ 0
• Pour H₃ : 2+1 ≠ 0

Alors G est le barycentre des systèmes de points pondérés…

$\,\{({\rm {H_{1}}},$ $);\,({\rm {C}},$ $)\}$

$\,\{({\rm {H_{2}}},$ $);\,({\rm {A}},$ $)\}$

$\,\{({\rm {H_{3}}},$ $);\,({\rm {B}},$ $)\}$

Ressources liées

Ce chapitre, assez technique, peut faire l’objet d'exercices de niveau 11 ou 12.

Activités

• Associativité du barycentre et moyenne pondérée

Exercices

• Isobarycentre du tétraèdre