Calcul avec les nombres complexes/Annexe/Démonstration de la formule d'Euler

Démonstration de la formule d'Euler
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Annexe 1
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Annexe de niveau 13.

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Le but de cette leçon annexe est, sans réellement la démontrer, de donner quelques explications sur la formule d'Euler admise dans le cours, avec les connaissances d'un niveau de Terminale S.

Cette leçon est aussi l’occasion d'aller un peu plus loin dans le cours et ainsi d’aborder la dérivée (à valeurs complexes) d'une fonction , associant à un réel un complexe.


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Cette section nécessite des connaissances sur Équation différentielle y' = ky. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.


PréliminairesModifier

Formule d'EulerModifier


Fonction du tempsModifier

Considérons la fonction  . Elle associe à tout t un point du cercle trigonométrique.


Les fonctions que l’on avait l'habitude de voir étaient de la forme  , ainsi on associait à chaque abscisse une ordonnée.

Ce nouveau type de fonction peut être mis en relation avec les courbes dites paramétrées : on associe à chaque instant t un point (avec une abscisse et une ordonnée), c'est-à-dire que l’on a deux fonctions qui varient au fil du temps.


Notre fonction f renvoie un nombre sous la forme  . On peut donc associer à chaque instant t un point dans le plan complexe d'affixe  .

Fonction vectorielleModifier

On peut considérer que les fonctions qui renvoient un nombre complexe renvoient en fait l'affixe d'un vecteur qui, s'il est non nul, a un module et un argument.

La fonction en question, f, est plutôt simple, car le module est 1 et l'argument le même que t.

Notion de dérivée complexeModifier

La dérivée de f est aussi une fonction qui retourne un nombre complexe, et se calcule avec les mêmes méthodes que d'habitude.

f'(t) fournit des informations sur le déplacement du point d'affixe f(t) en fonction de t : la direction, le sens et la norme. Ces trois informations sont regroupées dans le vecteur d'affixe f'(t) avec le module et l'argument, si le vecteur n’est pas nul.

Démonstration et explicationsModifier

Dérivée de la fonctionModifier

 .

Dérivons f avec les outils habituels :   et  .

D'où  .

On remarque alors qu'en multipliant f par i, on retrouve f' :  .

Ainsi :

Explication géométriqueModifier

  • La direction du vecteur vitesse d'un point qui tourne uniformément sur un cercle est perpendiculaire à la droite entre le point et le centre du cercle en question, au point en question.
 
Un point qui tourne uniformément sur un cercle, et son vecteur vitesse instantanée.
  • On sait que   et  .
    D'après la multiplication complexe,   et  .
    Le point d'affixe z a donc subi une rotation d'angle droit orienté   et de centre O (le centre du repère).
 
La multiplication par le nombre imaginaire i d'un nombre complexe quelconque.

Ainsi, on peut faire la relation entre   et le vecteur vitesse d'un objet qui tourne régulièrement sur le cercle trigonométrique (cf. animation).

 
Explication géométrique de l'équation différentielle.

Résolution de l'équation différentielle dans le cas généralModifier

L'équation différentielle   se résout avec la fonction exponentielle. Cette résolution fait partie du cours de Terminale S.

Plus précisément : lorsque k est un réel, l'unique fonction g telle que   et   est donnée par  .

Pour k = 1, cela constitue une définition de la fonction exponentielle. Pour k un réel quelconque, on peut alors vérifier en dérivant g :  .

Résolution de notre équation différentielleModifier

On va admettre ici le passage de k à un complexe (en l’occurrence le nombre imaginaire i) :


C'est l'unicité de cette fonction   qui est admise et donne un sens à la définition et à la notation  , mais l'existence vient d'être démontrée : la fonction   est une solution de l'équation différentielle et  . D'où  , c'est-à-dire :