Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Exponentielle et équation différentielle du premier ordre

Théorème et définition

Il existe une unique fonction dérivable de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :

• $\exp(0)=1$
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\exp '(x)=\exp(x)$

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0 (lorsque $x=0$).

L'existence de la fonction exponentielle, admise à ce niveau, peut être démontrée par de nombreuses méthodes, dont aucune n'est élémentaire. Un exercice de niveau 15 propose une démonstration à l'aide des suites.

L'unicité de cette fonction sera généralisée et démontrée plus bas. La preuve d'unicité montrera, de plus, que pour tout réel $x$, $\exp(x)\times \exp(-x)=1$. En particulier, $\exp(x)\neq 0$.

La fonction exponentielle est aussi utilisée dans la résolution d'équations différentielles de premier ordre.

En effet, une équation différentielle de premier ordre, à coefficients et second membre variables, est exprimée comme suit: $a(x).y'+b(x).y=c(x)$ (1)

• $a(x),b(x),c(x)$: Fonctions connues et dépendantes de la variable $x$.
• $y$: Fonction à déterminer et dépendante de la variable $x$.
• $y'$: Dérivée première de la fonction $y$ et dépendante de la variable $x$.

La solution complète de l'équation différentielle (1) s'écrit sous la forme générale suivante: $y=y_{H}(x)+y_{p}(x)=K.e^{-F(x)}+g(x).e^{-F(x)}$

• $y_{H}(x)=K.e^{-F(x)}$: Solution générale de l'équation différentielle (1).
  • $K=e^{C}$: Constante réelle.
  • $F(x)$: Primitive de la fonction $f(x)={b(x) \over a(x)}$
• $y_{p}(x)=g(x).e^{-F(x)}$ : Solution particulière de l'équation différentielle (1).
  • $g(x)=\int {c(x) \over a(x)}.e^{F(x)}dx$

Calculatrice

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche «$e^{x}$».

On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe «seconde» ou «shift» suivi de la touche $\ln$.

Exemples

A la calculatrice, donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ :

$\exp(7)$ =

$\exp(-3)$ =

$\exp(\pi +1)$ =

Cas général

Début d’un théorème

Théorème

• Pour tout réel $k$ $(k\in \mathbb {R} )$, la fonction $x\mapsto \exp(kx)$ est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb {R}$ telle que :
• $f'=kf$
• $f'(0)=k$
• $f(0)=1$
• Cette fonction vérifie : $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)\times f(-x)=1$.

Fin du théorème

Démonstration

• La fonction $f_{0}:x\mapsto \exp(kx)$ vérifie évidemment $f'_{0}=kf_{0}$ et $f_{0}(0)=1$.
• Réciproquement, soit $f$ une fonction telle que $f'=kf$ et $f(0)=1$.
  • Posons $g(x)=f(x)f_{0}(-x)$.
  • D’après les règles usuelles de dérivation : $\forall x\in \mathbb {R} \quad g'(x)=f'(x)f_{0}(-x)+f(x)f'_{0}(-x)=\left(kf(x)\right)f_{0}(-x)-f(x)\left(kf_{0}(-x)\right)=0$
  • Donc $g$ est constante et égale à sa valeur pour $x=0$ c'est-à-dire à $1$. Tout ceci prouve que : $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)f_{0}(-x)=1$.
  • En particulier, $\forall x\in \mathbb {R} \quad f_{0}(x)f_{0}(-x)=1$.
• On déduit de ces deux points que $f=f_{0}$.