Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Divers

Divers
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Exercices no9
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

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Exercice 9-1Modifier

Soit   la suite de nombres complexes définie par la donnée de   et les conditions suivantes : Pour tout entier naturel  , un représentant de l'argument de   appartient à l'intervalle   et  

 Déterminez le module et un argument de  .

 On pose   et  , où   désigne le logarithme népérien de  . Montrez que   est une suite géométrique.

Exercice 9-2Modifier

Pour   réel fixé, soit l'équation :

 .

 Pour tout  , démontrer qu'il existe une unique solution   réelle puis résoudre l'équation dans  .

 Soit  , lorsqu'elle existe, l'autre solution, et   son image dans le plan complexe.

Déterminer l'ensemble décrit par  .

Exercice 9-3Modifier

Soient   et M l'image de  .

 Démontrez que   est réel si, et seulement si :

  ou  .

 Déterminer l'ensemble des points M tels que :

 .

 Dans ce cas, calculer  , puis   en fonction de  , argument de  .

Exercice 9-4Modifier

Résoudre dans  , où   désigne l'ensemble des nombres complexes de module   :