Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Divers
Exercice 9-1
modifierSoit la suite de nombres complexes définie par la donnée de et les conditions suivantes : Pour tout entier naturel , un représentant de l'argument de appartient à l'intervalle et
1° Déterminer le module et un argument de .
2° On pose et , où désigne le logarithme népérien de . Montrer que est une suite géométrique.
1° donc et un argument de est .
2° donc .
Exercice 9-2
modifierPour réel fixé, soit l'équation :
- .
1° Pour tout , démontrer qu'il existe une unique solution réelle puis résoudre l'équation dans .
2° Soit , lorsqu'elle existe, l'autre solution, et son image dans le plan complexe.
- Déterminer l'ensemble décrit par .
1° Pour réel, l'équation équivaut à donc l'unique solution réelle est . Si , l'équation est du second degré et sa deuxième solution dans est donc .
2° a pour coordonnées . Quand parcourt , parcourt donc la parabole d'équation , privée de son sommet.
Exercice 9-3
modifierSoient et M l'image de .
1° Démontrer que est réel si, et seulement si :
- ou .
2° Déterminer l'ensemble des points M tels que :
- .
3° Dans ce cas, calculer , puis en fonction de , argument de .
1° .
2° donc l'ensemble des points M tels que est le cercle de rayon 1/2 centré au point d'affixe 1/2.
3° et .
Exercice 9-4
modifierRésoudre dans , où désigne l'ensemble des nombres complexes de module :
.
- .
De même,
- .
Enfin,
- .
La seule solution à permutation près est donc .