Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes

Sur les fonctions complexes
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Exercices no8
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sur les applications géométriques
Exo suiv. :Divers
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes
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Exercice 8-1Modifier

Soit   l'application de   dans   définie par :

 .

 Précisez l'application   et déterminez les deux ensembles suivants :

 .

 Soit   le plan rapporté au repère orthonormal  .

À chaque nombre complexe on associe son point image dans  .
Soit   l’application de   dans   qui, au point   image de  , associe le point   d'affixe  .
a)  Précisez   et déterminez les deux ensembles suivants :
 .
b)  Démontrez que pour tout point   de  , le point   appartient à   et que pour tout point   de   n'appartenant pas à  , la droite   est parallèle à  .
En déduire la nature de  .

Exercice 8-2Modifier

Soit   l'application de   dans   qui à tout nombre complexe associe le cube de son conjugué :

 .

 Quel est l’ensemble des nombres   tel que   ?

 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal   on désigne par M et M' les points d'affixes respectives   et  .

a)  Quel est l'ensemble des points M tel que le triangle MOM' soit rectangle en O ?
b)  Quel est l'ensemble des points M tels que M, O et M' soient alignés ?

 Déterminez l'ensemble des nombres complexes images par   des nombres complexes de module  .

 Déterminez et représentez dans le plan complexe les points M, d'affixe   telle que  .

Exercice 8-3Modifier

Soit   l'application de   dans   définie par :

 .

Dans le plan euclidien, on note M le point d'affixe  .

 Déterminez les coordonnées du point B dont l'affixe   est telle que  .

 Soit   un élément de  . On note   le module de   et   une mesure de son argument.

Exprimez la forme trigonométrique de   en fonction de   et de  .

 Soit A le point d'affixe  .

a)  Déterminez :
  • l'ensemble   des points M vérifiant   ;
  • l'ensemble   des points M tels que   soit une mesure de l'argument de  .
b)  Montrez que B appartient à   et   et construire   et  .

Exercice 8-4Modifier

Soient  ,   et   les racines cubiques de l'unité, où  .

 Soit, pour tout   complexe :

 .
Vérifiez que  .

 Soit M l'image de   dans le plan complexe. Déterminez et construire :

  • l'ensemble   des points M tels que   soit réel ;
  • l'ensemble   des point M tels que   soit imaginaire pur et le sous-ensemble de ceux tels que   ait pour argument  .

 Déterminez  , en justifiant le résultat.

Exercice 8-5Modifier

Soit   l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point M d'affixe  , associe M' d'affixe :

 .

 Calculez les coordonnées   de M' en fonction des coordonnées   de M.

Déterminez l'ensemble des points M'.

 Calculez le module de   en fonction de  .

Déterminez et représentez l'ensemble des point M tels que  .

 Déterminez et représentez l'ensemble des points M tels que O, M, M', soient alignés.