Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes

Sur les fonctions complexes
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Exercices no8
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sur les applications géométriques
Exo suiv. :Divers
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes
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Exercice 8-1

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Soit   l'application de   dans   définie par :

 .

 Préciser l'application   et déterminer les deux ensembles suivants :

 .

 Soit   le plan rapporté au repère orthonormal  .

À chaque nombre complexe on associe son point image dans  .
Soit   l’application de   dans   qui, au point   image de  , associe le point   d'affixe  .
a)  Préciser   et déterminer les deux ensembles suivants :
 .
b)  Démontrer que pour tout point   de  , le point   appartient à   et que pour tout point   de   n'appartenant pas à  , la droite   est parallèle à  .
En déduire la nature de  .

Exercice 8-2

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Soit   l'application de   dans   qui à tout nombre complexe associe le cube de son conjugué :

 .

 Quel est l’ensemble des nombres   tel que   ?

 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal   on désigne par M et M' les points d'affixes respectives   et  .

a)  Quel est l'ensemble des points M tels que le triangle MOM' soit rectangle en O ?
b)  Quel est l'ensemble des points M tels que M, O et M' soient alignés ?

 Déterminer l'ensemble des nombres complexes images par   des nombres complexes de module  .

 Déterminer et représenter dans le plan complexe les points M, d'affixe   telle que  .

Exercice 8-3

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Soit   l'application de   dans   définie par :

 .

Dans le plan euclidien, on note M le point d'affixe  .

 Déterminer les coordonnées du point B dont l'affixe   est telle que  .

 Soit   un élément de  . On note   le module de   et   une mesure de son argument.

Exprimer la forme trigonométrique de   en fonction de   et de  .

 Soit A le point d'affixe  .

a)  Déterminer :
  • l'ensemble   des points M vérifiant   ;
  • l'ensemble   des points M tels que   soit une mesure de l'argument de  .
b)  Montrer que B appartient à   et   et construire   et  .

Exercice 8-4

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Soient  ,   et   les racines cubiques de l'unité, où  .

 Soit, pour tout   complexe :

 .
Vérifier que  .

 Soit M l'image de   dans le plan complexe. Déterminer et construire :

  • l'ensemble   des points M tels que   soit réel ;
  • l'ensemble   des point M tels que   soit imaginaire pur et le sous-ensemble de ceux tels que   ait pour argument  .

 Déterminer  , en justifiant le résultat.

Exercice 8-5

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Soit   l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point M d'affixe  , associe M' d'affixe :

 .

 Calculer les coordonnées   de M' en fonction des coordonnées   de M.

Déterminer l'ensemble des points M'.

 Calculer le module de   en fonction de  .

Déterminer et représenter l'ensemble des point M tels que  .

 Déterminer et représenter l'ensemble des points M tels que O, M, M', soient alignés.