Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes
Exercice 8-1
modifierSoit l'application de dans définie par :
- .
1° Préciser l'application et déterminer les deux ensembles suivants :
- .
2° Soit le plan rapporté au repère orthonormal .
- À chaque nombre complexe on associe son point image dans .
- Soit l’application de dans qui, au point image de , associe le point d'affixe .
- a) Préciser et déterminer les deux ensembles suivants :
- .
- b) Démontrer que pour tout point de , le point appartient à et que pour tout point de n'appartenant pas à , la droite est parallèle à .
- En déduire la nature de .
1° .
, or . Donc .
. Donc .
2° a) , est la droite d'équation et est la droite d'équation .
- b) car .
- Si a pour coordonnées , le vecteur a pour affixe donc si , ce vecteur est non nul et parallèle à .
- est donc la projection sur parallèlement à , autrement dit (puisque ) la projection orthogonale sur .
Exercice 8-2
modifierSoit l'application de dans qui à tout nombre complexe associe le cube de son conjugué :
- .
1° Quel est l’ensemble des nombres tel que ?
2° Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal on désigne par M et M' les points d'affixes respectives et .
- a) Quel est l'ensemble des points M tels que le triangle MOM' soit rectangle en O ?
- b) Quel est l'ensemble des points M tels que M, O et M' soient alignés ?
3° Déterminer l'ensemble des nombres complexes images par des nombres complexes de module .
4° Déterminer et représenter dans le plan complexe les points M, d'affixe telle que .
1° Les solutions de , c'est-à-dire de , sont , et .
2° a) Si et sont le module et l'argument de , , donc MOM' est rectangle en O si et seulement si M appartient à l'une des quatre droites d'équations et ( , cf. Valeurs trigonométriques exactes).
- b) De même, M, O et M' sont alignés M appartient à l'une des quatre droites d'équations , et .
3° .
4° .
Exercice 8-3
modifierSoit l'application de dans définie par :
- .
Dans le plan euclidien, on note M le point d'affixe .
1° Déterminer les coordonnées du point B dont l'affixe est telle que .
2° Soit un élément de . On note le module de et une mesure de son argument.
- Exprimer la forme trigonométrique de en fonction de et de .
3° Soit A le point d'affixe .
- a) Déterminer :
- l'ensemble des points M vérifiant ;
- l'ensemble des points M tels que soit une mesure de l'argument de .
- b) Montrer que B appartient à et et construire et .
donc .
1° .
2° .
3° a) est le cercle de centre A et de rayon . est la droite passant par A et de pente .
- b) car a pour module et pour argument . Graphique Google.
Exercice 8-4
modifierSoient , et les racines cubiques de l'unité, où .
1° Soit, pour tout complexe :
- .
- Vérifier que .
2° Soit M l'image de dans le plan complexe. Déterminer et construire :
- l'ensemble des points M tels que soit réel ;
- l'ensemble des point M tels que soit imaginaire pur et le sous-ensemble de ceux tels que ait pour argument .
3° Déterminer , en justifiant le résultat.
- est le polynôme unitaire de racines et .
- donc :
- est la réunion des deux droites d'équations et .
- est l'hyperbole d'équation (graphique Google). a pour argument pour la moitié de cette hyperbole.
- est constitué des deux points d'affixes et , cf. question 1.
Exercice 8-5
modifierSoit l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point M d'affixe , associe M' d'affixe :
- .
1° Calculer les coordonnées de M' en fonction des coordonnées de M.
- Déterminer l'ensemble des points M'.
2° Calculer le module de en fonction de .
- Déterminer et représenter l'ensemble des point M tels que .
3° Déterminer et représenter l'ensemble des points M tels que O, M, M', soient alignés.
- . L'ensemble des points M' est donc la droite d'équation .
- est égal à si et seulement si M appartient à l'une des deux droites d'équations .
- donc est nul si et seulement si M appartient à l'une des deux droites d'équations .