Calcul littéral/Introduction

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Ce premier chapitre a pour but de permettre au lecteur de bien comprendre la nécessité du calcul littéral.

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Définition

Le calcul littéral, c'est une forme de calcul où les nombres ont été remplacés par des lettres. Mais pourquoi faire du calcul avec des lettres ? En fait vous avez déjà tous probablement dû être confronté à des formules où des lettres représentaient des nombres. Rappelez-vous : Quelle est la formule donnant la surface d'un rectangle connaissant sa longueur et sa largeur ?

Cette formule est :

$S=L\times l$

où $S$ représente la surface, $L$ représente la longueur et $l$ représente la largeur.

Pourquoi a-t-on mis des lettres si ce calcul se fait avec des nombres ? C'est tout simplement parce qu’on ne connait pas encore les nombres. Le fait de disposer d'une formule avec des lettres nous permet de savoir facilement comment calculer la surface d'un rectangle avant même de savoir de quel rectangle il s'agit.

Vous pourriez objecter qu'on aurait pu énoncer une règle du style :

Pour calculer la surface d'un rectangle il suffit de multiplier sa longueur par sa largeur.

Effectivement, mais remarquez que cela prend beaucoup plus de place et imaginez ce qu'il aurait fallu écrire si le calcul avait été bien plus compliqué.

On admettra donc que décrire un calcul par une formule littérale (avec des lettres) simplifie beaucoup les choses.

Description d'un calcul

Le calcul littéral va aussi nous permettre d'illustrer un calcul en mathématiques. Prenons un exemple.

Vous avez dû voir comment on peut simplifier une fraction en mettant en évidence un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur. Par exemple :

${\frac {15}{20}}={\frac {3\times 5}{4\times 5}}={\frac {3\times \not 5}{4\times \not 5}}={\frac {3}{4}}$

Comment représenter ce calcul avec des lettres ?

La partie du calcul qui nous intéresse est :

${\frac {3\times 5}{4\times 5}}={\frac {3}{4}}$

Avec des lettres, on écrira :

${\frac {a\times c}{b\times c}}={\frac {a}{b}}$

L'écriture précédente décrit de façon simple comment simplifier une fraction. Le fait d'avoir écrit ce calcul avec des lettres permet d'affirmer qu'il sera valable pour tout nombre venant en remplacement des lettres dans la mesure où la fraction existe. C'est-à-dire en supposant que $b$ et $c$ ne prennent pas la valeur 0 (qui annule le dénominateur).

On écrira donc:

Pour tout $b$ et $c$ non nul, on a :

${\frac {a\times c}{b\times c}}={\frac {a}{b}}$