Champ électrostatique, potentiel/Dipôle électrostatique

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Moment dipolaire

Dipôle électrostatique

Définition

On considère un ensemble de charges globalement neutre constitué de:

• q₁, q₂, ..., q_n n charges positives
• q_a, q_b, ..., q_p p charges négatives

On remplace chaque ensemble de charges par leur barycentre : on note P le barycentre des charges positives et N le barycentre des charges négatives.

On modélise le système de charges par un doublet de deux charges ponctuelles (-q,q) séparées par une distance d=NP.

Ce doublet est appelé dipôle électrostatique.

Moment dipolaire

Définition

On définit le moment dipolaire, noté ${\vec {p}}$, par ${\vec {p}}=q.{\overrightarrow {\rm {NP}}}$. Le moment dipolaire s'exprime en chimie en Debye (noté D), ou en coulomb-mètre en physique (C.m)

Potentiel et champ créés par un dipôle

Approximation dipolaire

Début d’un principe

Approximation dipolaire

On cherche à étudier le champ et le potentiel créés par un dipôle à grande distance, c'est-à-dire pour une distance r vérifiant $r\gg d$, r étant la distance OM et d la distance NP . On va ainsi effectuer des développements limités à l’ordre 1 en ${\frac {d}{r}}$ : c’est ce qu'on appelle l'approximation dipolaire.

Fin du principe

Potentiel dipolaire

On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire.

$V(M)=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {NM}}}}+{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {PM}}}}$

Or, ${\rm {NM}}^{2}={\rm {NO}}^{2}+{\rm {OM}}^{2}+2{\overrightarrow {\rm {NO}}}.{\overrightarrow {\rm {OM}}}={\frac {d^{2}}{4}}+r^{2}+2{\frac {d}{2}}r\cos \theta$

Donc ${\rm {NM}}=r{\sqrt {1+{\frac {d}{r}}\cos(\theta )+{\frac {d^{2}}{4r^{2}}}}}$

Donc, à l’ordre 1, ${\frac {1}{\rm {NM}}}\approx {\frac {1}{r{\sqrt {1+{\frac {d}{r}}\cos \theta }}}}\approx {\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {d}{2r}}\cos \theta \right)$

De même, ${\frac {1}{\rm {PM}}}\approx {\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {d}{2r}}\cos \theta \right)$

Début d’un théorème

Potentiel dipolaire

$V(M)={\frac {qd\cos \theta }{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

Dans un repère polaire $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$, on peut écrire $V(M)={\frac {{\vec {p}}.{\vec {u}}_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

On remarque que, contrairement au potentiel créé par une charge qui est en ${\frac {1}{r}}$, le potentiel dipolaire est en ${\frac {1}{r^{2}}}$, ce qui traduit la quasi-compensation des charges.

Fin du théorème

Champ dipolaire

Début d’un théorème

Champ dipolaire

On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire. On utilise la relation ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V$ pour en déduire l’expression du champ dipolaire dans un repère polaire :

${\vec {E}}(M)={\frac {p}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\vec {u}}_{r}+\sin \theta {\vec {u}}_{\theta })$

On remarque là encore que, contrairement au champ créé par une charge qui est en ${\frac {1}{r^{2}}}$, le champ dipolaire est en ${\frac {1}{r^{3}}}$, ce qui traduit la quasi-compensation des charges.

Fin du théorème

Efforts exercés sur un dipôle

On considère un dipôle électrostatique disposé dans un champ électrique extérieur ${\vec {E}}$.

Début d’un théorème

Efforts exercés sur un dipôle dans un champ électrique extérieur

Le dipôle :

• possède une énergie potentielle électrique $W_{e}=-{\vec {p}}\cdot {\vec {E}}$
• est soumis à une force ${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}W_{e}={\vec {\nabla }}({\vec {p}}\cdot {\vec {E}})$
• est soumis à un moment ${\vec {\Gamma }}={\vec {p}}\wedge {\vec {E}}$

Fin du théorème