Champ électrostatique, potentiel/Dipôle électrostatique

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Moment dipolaire

Dipôle électrostatique

Définition

On considère un ensemble de charges globalement neutre constitué de:

• q₁, q₂, ..., q_n n charges positives
• q_a, q_b, ..., q_p p charges négatives

On remplace chaque ensemble de charges par leur barycentre : on note P le barycentre des charges positives et N le barycentre des charges négatives.

On modélise le système de charges par un doublet de deux charges ponctuelles (-q,q) séparées par une distance d=NP.

Ce doublet est appelé dipôle électrostatique.

Moment dipolaire

Définition

On définit le moment dipolaire, noté ${\vec {p}}$, par ${\vec {p}}=q.{\overrightarrow {\rm {NP}}}$.

Le moment dipolaire s'exprime en chimie en Debye (noté D), ou en coulomb-mètre en physique (C.m)

Potentiel et champ créés par un dipôle

Approximation dipolaire

Début d’un principe

Approximation dipolaire

On cherche à étudier le champ et le potentiel créés par un dipôle à grande distance, c'est-à-dire pour une distance r vérifiant $r\gg d$, r étant la distance OM et d la distance NP .

On va ainsi effectuer des développements limités à l’ordre 1 en ${\frac {d}{r}}$ : c’est ce qu'on appelle l'approximation dipolaire.

Fin du principe

Potentiel dipolaire

On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire.

$V(M)=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {NM}}}}+{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {PM}}}}$

Or, ${\rm {NM}}^{2}={\rm {NO}}^{2}+{\rm {OM}}^{2}+2{\overrightarrow {\rm {NO}}}.{\overrightarrow {\rm {OM}}}={\frac {d^{2}}{4}}+r^{2}+2{\frac {d}{2}}r\cos \theta$

Donc ${\rm {NM}}=r{\sqrt {1+{\frac {d}{r}}\cos(\theta )+{\frac {d^{2}}{4r^{2}}}}}$

Donc, à l’ordre 1, ${\frac {1}{\rm {NM}}}\approx {\frac {1}{r{\sqrt {1+{\frac {d}{r}}\cos \theta }}}}\approx {\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {d}{2r}}\cos \theta \right)$

De même, ${\frac {1}{\rm {PM}}}\approx {\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {d}{2r}}\cos \theta \right)$

Début d’un théorème

Potentiel dipolaire

$V(M)={\frac {qd\cos \theta }{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

Dans un repère polaire $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$, on peut écrire $V(M)={\frac {{\vec {p}}.{\vec {u}}_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

On remarque que, contrairement au potentiel créé par une charge qui est en ${\frac {1}{r}}$, le potentiel dipolaire est en ${\frac {1}{r^{2}}}$, ce qui traduit la quasi-compensation des charges.

Fin du théorème

Champ dipolaire

Début d’un théorème

Champ dipolaire

On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire. On utilise la relation ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V$ pour en déduire l’expression du champ dipolaire dans un repère polaire :

${\vec {E}}(M)={\frac {p}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\vec {u}}_{r}+\sin \theta {\vec {u}}_{\theta })$

On remarque là encore que, contrairement au champ créé par une charge qui est en ${\frac {1}{r^{2}}}$, le champ dipolaire est en ${\frac {1}{r^{3}}}$, ce qui traduit la quasi-compensation des charges.

Fin du théorème

Efforts exercés sur un dipôle

On considère un dipôle électrostatique disposé dans un champ électrique extérieur ${\vec {E}}$.

Début d’un théorème

Efforts exercés sur un dipôle dans un champ électrique extérieur

Le dipôle :

• possède une énergie potentielle électrique $W_{e}=-{\vec {p}}\cdot {\vec {E}}$
• est soumis à une force ${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}W_{e}={\vec {\nabla }}({\vec {p}}\cdot {\vec {E}})$
• est soumis à un moment ${\vec {\Gamma }}={\vec {p}}\wedge {\vec {E}}$

Fin du théorème