Champ magnétique, magnétostatique/Exercices/Actions magnétiques sur les courants

Question : Déterminer la position d'équilibre du cadre.

Début d’un principe

Dispositif

Un cadre rectangulaire, de côtés 2a et 2b, de masse m, parcouru par une intensité I, est susceptible de pivoter autour de l'un de ses côtés horizontaux de longueur 2a. Il est placé dans un champ magnétique uniforme vertical.

Fin du principe

Solution

On considère les moments scalaires des forces exercées sur le cadre par rapport à l’axe (Ox).

• On suppose le cadre en équilibre sous l'action des forces ${\vec {F}}_{AB},{\vec {F}}_{BC},{\vec {F}}_{CD},{\vec {F}}_{DA},{\vec {P}}$. Cela signifie que ${\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {F}}_{AB})+{\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {F}}_{BC})+{\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {F}}_{CD})+{\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {F}}_{DA})+{\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {P}})=0$
• Au vu de la symétrie du système, ${\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {F}}_{AB})+{\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {F}}_{CD})=0$
• ${\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {F}}_{AD})=0$
• Il reste ${\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {F}}_{BC})+{\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {P}})=0$
• La force de Laplace s'exerçant sur [BC] vaut ${\vec {F}}_{BC}=I.BC(-{\vec {u}}_{x})\wedge (B{\vec {u}}_{z})=2aIB{\vec {u}}_{y}$
• Le moment scalaire par rapport à (Ox) de cette force vaut ${\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {F}}_{BC})=-4abIB\sin(\theta )$
• Le moment scalaire par rapport à (Ox) du poids du cadre (qui s'exerce en G) vaut ${\mathcal {M}}_{(Ox)}({\vec {P}})=-bmg\cos(\theta )$
• La condition d'équilibre s'écrit alors $\tan(\theta )=-{\frac {mg}{4aBI}}$

${\begin{cases}\displaystyle {\theta =-\arctan \left({\frac {mg}{4aBI}}\right)~{\textrm {si}}~B\geq 0}\\\displaystyle {\theta =\pi -\arctan \left({\frac {mg}{4aBI}}\right)~{\textrm {si}}~B\leq 0}\end{cases}}$