Fiche mémoire sur un formulaire de changements de variables en calcul intégral
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Fiche : FormulaireChangement de variable en calcul intégral/Fiche/Formulaire », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Rappelons tout d’abord la formule du changement de variable en calcul intégral :
∫
α
β
f
[
ϕ
(
t
)
]
ϕ
′
(
t
)
d
t
=
∫
ϕ
(
α
)
ϕ
(
β
)
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left[\phi (t)\right]\,\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)\,\mathrm {d} x}
.
Si l'intégrale contient des fonctions trigonométriques
modifier
Considérons l’intégrale :
∫
α
β
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x}
.
1er cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par –x, on pose :
u
=
cos
x
{\displaystyle u=\cos x}
.
2eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par π – x, on pose :
u
=
sin
x
{\displaystyle u=\sin x}
.
3eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par x + π, on pose :
u
=
tan
x
{\displaystyle u=\tan x}
.
Si les règles de Bioche ne s'appliquent pas, on pose :
u
=
tan
x
2
{\displaystyle u=\tan {\frac {x}{2}}}
.
On a alors :
cos
x
=
1
−
u
2
1
+
u
2
sin
x
=
2
u
1
+
u
2
tan
x
=
2
u
1
−
u
2
d
x
=
2
d
u
1
+
u
2
{\displaystyle \cos x={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \sin x={\frac {2u}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \tan x={\frac {2u}{1-u^{2}}}\qquad \qquad \mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} u}{1+u^{2}}}}
.
Si l'intégrale contient deux racines de polynômes du premier degré
modifier
Intégrales de fonctions de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
x
+
a
,
b
−
x
)
d
x
a
+
b
>
0
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a+b>0}
.
On pose :
x
=
b
−
a
2
−
b
+
a
2
cos
(
2
θ
)
{\displaystyle x={\frac {b-a}{2}}-{\frac {b+a}{2}}\cos(2\theta )}
.
On a alors :
x
+
a
=
(
a
+
b
)
sin
2
θ
b
−
x
=
(
a
+
b
)
cos
2
θ
{\displaystyle x+a=(a+b)\sin ^{2}\theta \qquad b-x=(a+b)\cos ^{2}\theta }
.
Intégrales de fonctions de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
x
+
a
,
x
+
b
)
d
x
a
>
b
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {x+b}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b}
.
On pose :
x
=
a
−
b
2
cosh
(
2
θ
)
−
a
+
b
2
{\displaystyle x={\frac {a-b}{2}}\cosh(2\theta )-{\frac {a+b}{2}}}
.
On a alors :
x
+
a
=
(
a
−
b
)
cosh
2
θ
x
+
b
=
(
a
−
b
)
sinh
2
θ
{\displaystyle x+a=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad x+b=(a-b)\sinh ^{2}\theta }
.
Intégrales de fonctions de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
a
−
x
,
b
−
x
)
d
x
a
>
b
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {a-x}},\,{\sqrt {b-x}}\right)dx\qquad a>b}
.
On pose :
x
=
b
−
a
2
cosh
(
2
θ
)
+
b
−
a
2
{\displaystyle x={\frac {b-a}{2}}\cosh(2\theta )+{\frac {b-a}{2}}}
.
On a alors :
a
−
x
=
(
a
−
b
)
cosh
2
θ
b
−
x
=
(
a
−
b
)
sinh
2
θ
{\displaystyle a-x=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad b-x=(a-b)\sinh ^{2}\theta }
.
Intégrale contenant une racine n -ième d’une fonction homographique
modifier
Ces intégrales sont de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
a
x
+
b
c
x
+
d
n
)
d
x
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\,\mathrm {d} x}
On pose :
u
=
a
x
+
b
c
x
+
d
n
⇔
x
=
b
−
d
u
n
c
u
n
−
a
d
x
=
c
(
b
−
d
)
u
2
n
−
1
+
(
a
d
−
b
c
)
u
n
−
1
(
c
u
n
−
a
)
2
d
u
{\displaystyle u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\Leftrightarrow x={\frac {b-du^{n}}{cu^{n}-a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {c(b-d)u^{2n-1}+(ad-bc)u^{n-1}}{\left(cu^{n}-a\right)^{2}}}\,\mathrm {d} u}
.
En particulier :
Si l'intégrale contient une racine carrée d'un polynôme du premier degré
modifier
Ces intégrales sont de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
a
x
+
b
)
d
x
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {ax+b}}\right)\,\mathrm {d} x}
.
On pose :
u
=
a
x
+
b
⇔
x
=
u
2
−
b
a
d
x
=
2
u
a
d
u
{\displaystyle u={\sqrt {ax+b}}\Leftrightarrow x={\frac {u^{2}-b}{a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {2u}{a}}\,\mathrm {d} u}
Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré
modifier
L'intégrale est de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
1
+
x
2
)
d
x
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {1+x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x}
.
On pose alors :
x
=
tan
u
d
x
=
d
u
cos
2
u
{\displaystyle x=\tan u\qquad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}}
.
Autre choix possible :
x
=
sinh
u
d
x
=
cosh
u
d
u
{\displaystyle x=\sinh u\qquad \mathrm {d} x=\cosh u\,\mathrm {d} u}
.
L'intégrale est de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
1
−
x
2
)
d
x
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x}
.
On pose alors :
x
=
sin
u
d
x
=
cos
u
d
u
{\displaystyle x=\sin u\qquad \mathrm {d} x=\cos u\,\mathrm {d} u}
.
Autre choix possible :
x
=
tanh
u
d
x
=
d
u
cosh
2
u
{\displaystyle x=\tanh u\qquad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{\cosh ^{2}u}}}
.
L'intégrale est de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
x
2
−
1
)
d
x
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,\mathrm {d} x}
.
On pose alors :
x
=
1
cos
u
d
x
=
sin
u
d
u
cos
2
u
{\displaystyle x={\frac {1}{\cos u}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {\sin u\,\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}}
.
Autre choix possible :
x
=
cosh
u
d
x
=
sinh
u
d
u
{\displaystyle x=\cosh u\qquad \mathrm {d} x=\sinh u\,\mathrm {d} u}
.