Changement de variable en calcul intégral/Fiche/Formulaire

Fiche mémoire sur un formulaire de changements de variables en calcul intégral

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Rappelons tout d’abord la formule du changement de variable en calcul intégral :

.


Si l'intégrale contient des fonctions trigonométriques

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Règles de Bioche

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Considérons l’intégrale :

 .

1er cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par –x, on pose :

 .

2eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par π – x, on pose :

 .

3eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par x + π, on pose :

 .

Cas général

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Si les règles de Bioche ne s'appliquent pas, on pose :

 .

On a alors :

 .

Si l'intégrale contient deux racines de polynômes du premier degré

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Premier type

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Intégrales de fonctions de la forme :

 .

On pose :

 .

On a alors :

 .

Deuxième type

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Intégrales de fonctions de la forme :

 .

On pose :

 .

On a alors :

 .

Troisième type

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Intégrales de fonctions de la forme :

 .

On pose :

 .

On a alors :

 .

Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique

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Ces intégrales sont de la forme :

 

On pose :

 .

En particulier :

Si l'intégrale contient une racine carrée d'un polynôme du premier degré

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Ces intégrales sont de la forme :

 .

On pose :

 

Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré

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Premier cas

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L'intégrale est de la forme :

 .

On pose alors :

 .

Autre choix possible :

 .

Deuxième cas

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L'intégrale est de la forme :

 .

On pose alors :

 .

Autre choix possible :

 .

Troisième cas

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L'intégrale est de la forme :

 .

On pose alors :

 .

Autre choix possible :

 .