Conduction thermique/Équation de la chaleur

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Équation de la chaleur

L'équation de la chaleur s'écrit en toute généralité :

${\partial T \over \partial t}={\lambda \over c_{v}\rho }{\vec {\nabla }}^{2}T+{p \over c_{v}\rho }$

où

• T est la température ;
• λ est la conductivité thermique ;
• c_v est la capacité thermique massique à volume constant ;
• ρ est la masse volumique ;
• $\nabla$est nabla et ${\vec {\nabla }}^{2}$est le laplacien ;
• p est la puissance volumique dégagée (par exemple dans le cas d'un résistor, p est la puissance dissipée par effet Joule).

Démonstration à une dimension

Élément infinitésimal à une dimension

On applique le premier principe à un petit élément de longueur $\operatorname {d} \!x$, en considérant que les échanges thermiques :

$\operatorname {d} \!U=\partial Q+P\operatorname {d} \!t$

$P\operatorname {d} \!t$ est l'énergie dégagée pendant un temps $\operatorname {d} \!t$

Dans le cas d'une phase condensée (on écrit alors que c_v = c = c_p) ou un gaz parfait :

$\operatorname {d} \!U=m*c_{v}\operatorname {d} \!T$

Donc par définition de j, densité de flux thermique

$m*c_{v}{\partial T \over \partial t}\operatorname {d} \!t=j(x)S\operatorname {d} \!t-j(x+dx)S\operatorname {d} \!t+P\operatorname {d} \!t$

où S est la surface.

Par définition de la différentielle et par simplification par $\operatorname {d} \!t$

${\partial T \over \partial t}=-{S \over m*c_{v}}{\partial j \over \partial x}\operatorname {d} \!x+{P \over m*c_{v}}$

Par définition de la masse volumique $\rho ={m \over \partial V}$et du petit volume considéré $\partial V=S\operatorname {d} \!x$

De plus la loi de Fourier donne ${\vec {j}}=-\lambda {\vec {\nabla }}T$, où ${\vec {\nabla }}T$est le gradient de la température qui sécrit en une dimension :

${\vec {\nabla }}T={\partial T \over \partial x}$

Finalement, en notant $p\operatorname {d} \!t$ l'énergie volumique dégagée pendant un temps $\operatorname {d} \!t$ :

${\partial T \over \partial t}={\lambda \over \ \rho c_{v}}{\partial ^{2}T \over \partial x^{2}}+{p \over \rho c_{v}}$

On peut alors généraliser de la même façon à trois dimensions.