Conduction thermique/Équation de la chaleur

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Équation de la chaleur
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Chapitre no 4
Leçon : Conduction thermique
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Équation de la chaleurModifier

L'équation de la chaleur s'écrit en toute généralité :

 

  • T est la température ;
  • λ est la conductivité thermique ;
  • cv est la capacité thermique massique à volume constant ;
  • ρ est la masse volumique ;
  •  est nabla et  est le laplacien ;
  • p est la puissance volumique dégagée (par exemple dans le cas d'un résistor, p est la puissance dissipée par effet Joule).

Démonstration à une dimensionModifier

 
Élément infinitésimal à une dimension

On applique le premier principe à un petit élément de longueur  , en considérant que les échanges thermiques :

 

 est l'énergie volumique dégagée pendant un temps  

Dans le cas d'une phase condensée (on écrit alors que cv = c = cp) ou un gaz parfait :

 

Donc par définition de j, densité de flux thermique

 

où S est la surface.

Par définition de la différentielle et par simplification par  

 

Par définition de la masse volumique  et du petit volume considéré  

De plus la loi de Fourier donne  , où  est le gradient de la température qui sécrit en une dimension :

 

Finalement

 

On peut alors généraliser de la même façon à trois dimensions.