Conservation de la masse et équation de continuité/Forme locale

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La forme locale de la conservation de la masse s'applique seulement sur un point $M$ de l'élément de volume $\mathrm {d} V$ de fluide.

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On rappelle la forme intégrale :

${\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} ~(\rho ~{\overrightarrow {v}})\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}+\rho ~\mathrm {div} ~{\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V=0$.

On obtient alors l'équation de continuité sous deux formes équivalentes :

• la forme conservative :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} (\rho {\overrightarrow {v}})=0$ ;

• la forme non-conservative :

${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}+\rho ~\mathrm {div} \,{\overrightarrow {v}}$.