Conservation de la masse et équation de continuité/Forme globale

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La forme globale, ou forme intégrale, de la conservation de la masse s'applique sur un volume $V$ de fluide, ce qui explique l’utilisation de l'outil intégrale. La masse $m$ de ce volume $V$ peut s'écrire :

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$m(t)=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho ({\overrightarrow {r}},t)\,\mathrm {d} V$.

Or le principe physique de la conservation de la masse au cours du temps implique :

${\frac {\mathrm {d} m(t)}{\mathrm {d} t}}=0$.

Il vient donc:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho ({\overrightarrow {r}},t)\,\mathrm {d} V=0$.

Et d’après le théorème de transport de Reynolds, il vient finalement :

${\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}~\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\rho ~{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=0$.

On peut montrer ( grâce au théorème de Green-Ostrogradski ) que la conservation de la masse peut également s'exprimer :

${\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} ~(\rho ~{\overrightarrow {v}})\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}+\rho ~\mathrm {div} ~{\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V=0$.